Theorem peano2b 4523

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	|- ( A e. om <-> suc A e. om )

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4504	. 2 |- ( A e. om -> suc A e. om )
2		elex 2692	. . . . 5 |- ( suc A e. om -> suc A e. _V )
3		sucexb 4408	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
4	2, 3	sylibr 133	. . . 4 |- ( suc A e. om -> A e. _V )
5		sucidg 4333	. . . 4 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( suc A e. om -> A e. suc A )
7		elnn 4514	. . 3 |- ( ( A e. suc A /\ suc A e. om ) -> A e. om )
8	6, 7	mpancom 418	. 2 |- ( suc A e. om -> A e. om )
9	1, 8	impbii 125	1 |- ( A e. om <-> suc A e. om )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   suc csuc 4282   omcom 4499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-suc 4288  df-iom 4500

This theorem is referenced by:  nnpredcl  4531  nnmsucr  6377