Theorem peano2uz2 9158

Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz2	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) -> ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem peano2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9090	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B + 1 ) e. ZZ )
2	1	ad2antrl 481	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> ( B + 1 ) e. ZZ )
3		zre 9058	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
4		zre 9058	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5		lep1 8603	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B <_ ( B + 1 ) )
6	5	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ ( B + 1 ) )
7		peano2re 7898	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
8	7	ancli 321	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) )
9		letr 7847	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
10	9	3expb 1182	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
11	8, 10	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
12	6, 11	mpan2d 424	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + 1 ) ) )
13	3, 4, 12	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + 1 ) ) )
14	13	impr 376	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> A <_ ( B + 1 ) )
15	2, 14	jca 304	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> ( ( B + 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B + 1 ) ) )
16		breq2 3933	. . . 4 |- ( x = B -> ( A <_ x <-> A <_ B ) )
17	16	elrab 2840	. . 3 |- ( B e. { x e. ZZ | A <_ x } <-> ( B e. ZZ /\ A <_ B ) )
18	17	anbi2i 452	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) <-> ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) )
19		breq2 3933	. . 3 |- ( x = ( B + 1 ) -> ( A <_ x <-> A <_ ( B + 1 ) ) )
20	19	elrab 2840	. 2 |- ( ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } <-> ( ( B + 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B + 1 ) ) )
21	15, 18, 20	3imtr4i 200	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) -> ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   {crab 2420   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   1c1 7621   + caddc 7623   <_ cle 7801   ZZcz 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by:  dfuzi  9161