ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2zm Unicode version

Theorem peano2zm 8459
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 zcn 8426 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 1cnd 7186 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
31, 2negsubdid 7490 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u ( N  -  1 )  =  ( -u N  +  1 ) )
4 znegcl 8452 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
5 peano2z 8457 . . . 4  |-  ( -u N  e.  ZZ  ->  (
-u N  +  1 )  e.  ZZ )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u N  +  1 )  e.  ZZ )
73, 6eqeltrd 2156 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u ( N  -  1 )  e.  ZZ )
81, 2subcld 7475 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
9 znegclb 8454 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  e.  ZZ  <->  -u ( N  -  1 )  e.  ZZ ) )
108, 9syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  e.  ZZ  <->  -u ( N  -  1 )  e.  ZZ ) )
117, 10mpbird 165 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    e. wcel 1434  (class class class)co 5537   CCcc 7030   1c1 7033    + caddc 7035    - cmin 7335   -ucneg 7336   ZZcz 8421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-ltadd 7143
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422
This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  8460  zlem1lt  8477  zltlem1  8478  zextlt  8509  zeo  8522  eluzp1m1  8712  fz01en  9137  fzsuc2  9161  elfzm11  9173  uzdisj  9175  fzof  9220  fzoval  9224  elfzo  9225  fzon  9241  fzoss2  9247  fzossrbm1  9248  fzosplitsnm1  9284  ubmelm1fzo  9301  elfzom1b  9304  fzosplitprm1  9309  fzoshftral  9313  fzofig  9503  uzsinds  9507  isermono  9542  bcm1k  9773  bcn2  9777  bcp1m1  9778  bcpasc  9779  bccl  9780  resqrexlemcalc3  10029  resqrexlemnm  10031  zeo3  10401  oddm1even  10408  oddp1even  10409  zob  10424  nno  10439  isprm3  10633  oddennn  10692
  Copyright terms: Public domain W3C validator