ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano5nnnn Unicode version

Theorem peano5nnnn 7120
Description: Peano's inductive postulate. This is a counterpart to peano5nni 8109 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7128). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nntopi.n  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Assertion
Ref Expression
peano5nnnn  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. z  e.  A  ( z  +  1 )  e.  A )  ->  N  C_  A )
Distinct variable groups:    x, y, A   
z, A, y
Allowed substitution hints:    N( x, y, z)

Proof of Theorem peano5nnnn
StepHypRef Expression
1 oveq1 5550 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
21eleq1d 2148 . . 3  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  A  <->  ( z  +  1 )  e.  A ) )
32cbvralv 2578 . 2  |-  ( A. y  e.  A  (
y  +  1 )  e.  A  <->  A. z  e.  A  ( z  +  1 )  e.  A )
4 ax1re 7092 . . . . 5  |-  1  e.  RR
5 elin 3156 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( A  i^i  RR )  <->  ( 1  e.  A  /\  1  e.  RR ) )
65biimpri 131 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  A  /\  1  e.  RR )  ->  1  e.  ( A  i^i  RR ) )
74, 6mpan2 416 . . . 4  |-  ( 1  e.  A  ->  1  e.  ( A  i^i  RR ) )
8 inss1 3193 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  RR )  C_  A
9 ssralv 3059 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  RR ) 
C_  A  ->  ( A. y  e.  A  ( y  +  1 )  e.  A  ->  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  A ) )
108, 9ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  (
y  +  1 )  e.  A  ->  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  A
)
11 inss2 3194 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  RR )  C_  RR
1211sseli 2996 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  i^i  RR )  ->  y  e.  RR )
13 axaddrcl 7095 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
144, 13mpan2 416 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
15 elin 3156 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR )  <->  ( ( y  +  1 )  e.  A  /\  ( y  +  1 )  e.  RR ) )
1615simplbi2com 1374 . . . . . . 7  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( y  +  1 )  e.  A  -> 
( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) ) )
1712, 14, 163syl 17 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  i^i  RR )  ->  ( (
y  +  1 )  e.  A  ->  (
y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) ) )
1817ralimia 2425 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  A  ->  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) )
1910, 18syl 14 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
y  +  1 )  e.  A  ->  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) )
20 axcnex 7089 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
21 axresscn 7090 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
2220, 21ssexi 3924 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
2322inex2 3921 . . . . 5  |-  ( A  i^i  RR )  e. 
_V
24 eleq2 2143 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  i^i  RR )  ->  ( 1  e.  x  <->  1  e.  ( A  i^i  RR ) ) )
25 eleq2 2143 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  i^i  RR )  ->  ( (
y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) ) )
2625raleqbi1dv 2558 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  i^i  RR )  ->  ( A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) ) )
2724, 26anbi12d 457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( A  i^i  RR )  ->  ( (
1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <->  ( 1  e.  ( A  i^i  RR )  /\  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) ) ) )
2827elabg 2740 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  RR )  e.  _V  ->  (
( A  i^i  RR )  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  ( 1  e.  ( A  i^i  RR )  /\  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) ) ) )
29 nntopi.n . . . . . . 7  |-  N  = 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
30 intss1 3659 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  RR )  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  ( A  i^i  RR ) )
3129, 30syl5eqss 3044 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  RR )  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  N  C_  ( A  i^i  RR ) )
3228, 31syl6bir 162 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  RR )  e.  _V  ->  (
( 1  e.  ( A  i^i  RR )  /\  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) )  ->  N  C_  ( A  i^i  RR ) ) )
3323, 32ax-mp 7 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( A  i^i  RR )  /\  A. y  e.  ( A  i^i  RR ) ( y  +  1 )  e.  ( A  i^i  RR ) )  ->  N  C_  ( A  i^i  RR ) )
347, 19, 33syl2an 283 . . 3  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y  +  1 )  e.  A )  ->  N  C_  ( A  i^i  RR ) )
3534, 8syl6ss 3012 . 2  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y  +  1 )  e.  A )  ->  N  C_  A )
363, 35sylan2br 282 1  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. z  e.  A  ( z  +  1 )  e.  A )  ->  N  C_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2068   A.wral 2349   _Vcvv 2602    i^i cin 2973    C_ wss 2974   |^|cint 3644  (class class class)co 5543   CCcc 7041   RRcr 7042   1c1 7044    + caddc 7046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-2o 6066  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-0nq0 6678  df-plq0 6679  df-mq0 6680  df-inp 6718  df-i1p 6719  df-iplp 6720  df-enr 6965  df-nr 6966  df-plr 6967  df-0r 6970  df-1r 6971  df-c 7049  df-1 7051  df-r 7053  df-add 7054
This theorem is referenced by:  nnindnn  7121
  Copyright terms: Public domain W3C validator