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Theorem peano5uzti 8405
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
peano5uzti  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Distinct variable groups:    x, k, A   
k, N, x

Proof of Theorem peano5uzti
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3796 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( N  <_  k  <->  N  <_  n ) )
21elrab 2721 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  <->  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )
32anbi2i 438 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  n  e.  {
k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  <-> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) ) )
4 zcn 8307 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
54ad2antrl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  ->  n  e.  CC )
6 zcn 8307 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 1cnd 7101 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
86, 7subcld 7385 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
9 npcan 7283 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
105, 8, 9syl2an 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
11 ax-1cn 7035 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
12 subsub 7304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
1311, 12mp3an3 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
145, 6, 13syl2an 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  ( N  -  1
) )  =  ( ( n  -  N
)  +  1 ) )
15 znn0sub 8367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  n  <->  ( n  -  N )  e.  NN0 ) )
1615biimpa 284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  N  <_  n
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1716anasss 385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1817ancoms 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1918adantll 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
20 nn0p1nn 8278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  -  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2214, 21eqeltrd 2130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  ( N  -  1
) )  e.  NN )
23 simpr 107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
24 simpll 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )
25 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )
2625eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
2726imbi2d 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
2827imbi2d 223 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
29 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( n  +  ( N  -  1
) ) )
3029eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( n  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3130imbi2d 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
3231imbi2d 223 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
33 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
3433eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3534imbi2d 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
3635imbi2d 223 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
37 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) ) )
3837eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  -  ( N  -  1 ) )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3938imbi2d 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
4039imbi2d 223 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  -  ( N  -  1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
41 1cnd 7101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  1  e.  CC )
426adantr 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  N  e.  CC )
4341, 42pncan3d 7388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  =  N )
44 simprl 491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  N  e.  A )
4543, 44eqeltrd 2130 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A )
4645ex 112 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
) )
47 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
4847eleq1d 2122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
( x  +  1 )  e.  A  <->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A ) )
4948rspccv 2670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  e.  A ) )
5049ad2antll 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  e.  A  ->  ( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  e.  A ) )
51 simpll 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  ->  n  e.  NN )
5251nncnd 8004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  ->  n  e.  CC )
538ad2antlr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  CC )
54 1cnd 7101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
1  e.  CC )
5552, 53, 54add32d 7242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) ) )
5655eleq1d 2122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  +  1 )  e.  A  <->  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )
5750, 56sylibd 142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  e.  A  ->  ( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )
5857ex 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
5958a2d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
6059ex 112 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  -> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
6160a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
6228, 32, 36, 40, 46, 61nnind 8006 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  -  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
) ) )
6322, 23, 24, 62syl3c 61 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
)
6410, 63eqeltrrd 2131 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  n  e.  A
)
653, 64sylanb 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  /\  N  e.  ZZ )  ->  n  e.  A )
6665expcom 113 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  ->  n  e.  A ) )
6766expdimp 250 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k }  ->  n  e.  A
) )
6867ssrdv 2979 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
)
6968ex 112 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323   {crab 2327    C_ wss 2945   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   CCcc 6945   1c1 6948    + caddc 6950    <_ cle 7120    - cmin 7245   NNcn 7990   NN0cn0 8239   ZZcz 8302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303
This theorem is referenced by:  peano5uzi  8406  uzind  8408
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