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Theorem peano5uzti 9127
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
peano5uzti  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Distinct variable groups:    x, k, A   
k, N, x

Proof of Theorem peano5uzti
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3903 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( N  <_  k  <->  N  <_  n ) )
21elrab 2813 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  <->  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )
32anbi2i 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  n  e.  {
k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  <-> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) ) )
4 zcn 9027 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
54ad2antrl 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  ->  n  e.  CC )
6 zcn 9027 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 1cnd 7750 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
86, 7subcld 8041 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
9 npcan 7939 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
105, 8, 9syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
11 ax-1cn 7681 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
12 subsub 7960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
1311, 12mp3an3 1289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
145, 6, 13syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  ( N  -  1
) )  =  ( ( n  -  N
)  +  1 ) )
15 znn0sub 9087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  n  <->  ( n  -  N )  e.  NN0 ) )
1615biimpa 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  N  <_  n
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1716anasss 396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )
)  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1817ancoms 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
1918adantll 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  N )  e.  NN0 )
20 nn0p1nn 8984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  -  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2214, 21eqeltrd 2194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( n  -  ( N  -  1
) )  e.  NN )
23 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
24 simpll 503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )
25 oveq1 5749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )
2625eleq1d 2186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
2726imbi2d 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
2827imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
29 oveq1 5749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( n  +  ( N  -  1
) ) )
3029eleq1d 2186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( n  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3130imbi2d 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
3231imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
33 oveq1 5749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
3433eleq1d 2186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3534imbi2d 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
3635imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
37 oveq1 5749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) ) )
3837eleq1d 2186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  -  ( N  -  1 ) )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3938imbi2d 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
4039imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  <-> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  -  ( N  -  1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
41 1cnd 7750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  1  e.  CC )
426adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  N  e.  CC )
4341, 42pncan3d 8044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  =  N )
44 simprl 505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  N  e.  A )
4543, 44eqeltrd 2194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A )
4645ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
) )
47 oveq1 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
4847eleq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
( x  +  1 )  e.  A  <->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A ) )
4948rspccv 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  e.  A ) )
5049ad2antll 482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  e.  A  ->  ( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  e.  A ) )
51 simpll 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  ->  n  e.  NN )
5251nncnd 8702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  ->  n  e.  CC )
538ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  CC )
54 1cnd 7750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
1  e.  CC )
5552, 53, 54add32d 7898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) ) )
5655eleq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  +  1 )  e.  A  <->  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )
5750, 56sylibd 148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A ) )  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  e.  A  ->  ( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )
5857ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
5958a2d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
6059ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  -> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
6160a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) ) )
6228, 32, 36, 40, 46, 61nnind 8704 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  -  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
) ) )
6322, 23, 24, 62syl3c 63 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
)
6410, 63eqeltrrd 2195 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  (
n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  /\  N  e.  ZZ )  ->  n  e.  A
)
653, 64sylanb 282 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  /\  N  e.  ZZ )  ->  n  e.  A )
6665expcom 115 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  /\  n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } )  ->  n  e.  A ) )
6766expdimp 257 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k }  ->  n  e.  A
) )
6867ssrdv 3073 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
)
6968ex 114 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   {crab 2397    C_ wss 3041   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   CCcc 7586   1c1 7589    + caddc 7591    <_ cle 7769    - cmin 7901   NNcn 8688   NN0cn0 8945   ZZcz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023
This theorem is referenced by:  peano5uzi  9128  uzind  9130
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