Theorem phibndlem 11892

Description: Lemma for phibnd 11893. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phibndlem	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem phibndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
2	1	a1d 22	. . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
3		eluzelz 9335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
4		gcdid 11674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N gcd N ) = ( abs ` N ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N gcd N ) = ( abs ` N ) )
6		eluz2nn 9364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
7		nnre 8727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. RR )
8		nnnn0 8984	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
9	8	nn0ge0d 9033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
10	7, 9	absidd 10939	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( abs ` N ) = N )
11	6, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( abs ` N ) = N )
12	5, 11	eqtrd 2172	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N gcd N ) = N )
13		1re 7765	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
14		eluz2gt1 9396	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < N )
15		ltne 7849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 < N ) -> N =/= 1 )
16	13, 14, 15	sylancr 410	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N =/= 1 )
17	12, 16	eqnetrd 2332	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N gcd N ) =/= 1 )
18		oveq1 5781	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( x gcd N ) = ( N gcd N ) )
19	18	neeq1d 2326	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( x gcd N ) =/= 1 <-> ( N gcd N ) =/= 1 ) )
20	17, 19	syl5ibrcom 156	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( x = N -> ( x gcd N ) =/= 1 ) )
21	20	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x = N ) -> ( x gcd N ) =/= 1 )
22	21	adantlr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x = N ) -> ( x gcd N ) =/= 1 )
23	22	neneqd 2329	. . . . 5 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x = N ) -> -. ( x gcd N ) = 1 )
24	23	pm2.21d 608	. . . 4 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) /\ x = N ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
25		fzm1 9880	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( x e. ( 1 ... N ) <-> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) ) )
26		nnuz 9361	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27	25, 26	eleq2s 2234	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( x e. ( 1 ... N ) <-> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) ) )
28	27	biimpa 294	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) )
29	6, 28	sylan 281	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) \/ x = N ) )
30	2, 24, 29	mpjaodan 787	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
31	30	ralrimiva 2505	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A. x e. ( 1 ... N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
32		rabss 3174	. 2 |- ( { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) <-> A. x e. ( 1 ... N ) ( ( x gcd N ) = 1 -> x e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) )
33	31, 32	sylibr 133	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> { x e. ( 1 ... N ) | ( x gcd N ) = 1 } C_ ( 1 ... ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   {crab 2420   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   1c1 7621   < clt 7800   - cmin 7933   NNcn 8720   2c2 8771   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790   abscabs 10769   gcd cgcd 11635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494  df-gcd 11636

This theorem is referenced by:  phibnd  11893  dfphi2  11896