ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phpelm Unicode version

Theorem phpelm 6359
Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
phpelm  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  -.  A  ~~  B
)

Proof of Theorem phpelm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 106 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  A  e.  om )
2 nnon 4360 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
3 onelss 4152 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  A  ->  B 
C_  A ) )
42, 3syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  A  ->  B 
C_  A ) )
54imp 119 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  B  C_  A )
6 simpr 107 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  A )
7 elirr 4294 . . . . 5  |-  -.  B  e.  B
87a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  -.  B  e.  B
)
96, 8eldifd 2956 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  ( A 
\  B ) )
10 eleq1 2116 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  ( A 
\  B )  <->  B  e.  ( A  \  B ) ) )
1110spcegv 2658 . . 3  |-  ( B  e.  A  ->  ( B  e.  ( A  \  B )  ->  E. x  x  e.  ( A  \  B ) ) )
126, 9, 11sylc 60 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  E. x  x  e.  ( A  \  B
) )
13 phpm 6358 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A  /\  E. x  x  e.  ( A  \  B ) )  ->  -.  A  ~~  B )
141, 5, 12, 13syl3anc 1146 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  -.  A  ~~  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101   E.wex 1397    e. wcel 1409    \ cdif 2942    C_ wss 2945   class class class wbr 3792   Oncon0 4128   omcom 4341    ~~ cen 6250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-br 3793  df-opab 3847  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-er 6137  df-en 6253  df-dom 6254
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator