ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem2 Unicode version

Theorem phplem2 6409
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
phplem2.1  |-  A  e. 
_V
phplem2.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
phplem2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  A  ~~  ( suc 
A  \  { B } ) )

Proof of Theorem phplem2
StepHypRef Expression
1 phplem2.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
2 phplem2.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
31, 2opex 4012 . . . . . . 7  |-  <. B ,  A >.  e.  _V
43snex 3977 . . . . . 6  |-  { <. B ,  A >. }  e.  _V
51, 2f1osn 5217 . . . . . 6  |-  { <. B ,  A >. } : { B } -1-1-onto-> { A }
6 f1oen3g 6322 . . . . . 6  |-  ( ( { <. B ,  A >. }  e.  _V  /\  {
<. B ,  A >. } : { B } -1-1-onto-> { A } )  ->  { B }  ~~  { A }
)
74, 5, 6mp2an 417 . . . . 5  |-  { B }  ~~  { A }
8 difss 3108 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
92, 8ssexi 3936 . . . . . 6  |-  ( A 
\  { B }
)  e.  _V
109enref 6333 . . . . 5  |-  ( A 
\  { B }
)  ~~  ( A  \  { B } )
117, 10pm3.2i 266 . . . 4  |-  ( { B }  ~~  { A }  /\  ( A  \  { B }
)  ~~  ( A  \  { B } ) )
12 incom 3174 . . . . . 6  |-  ( { A }  i^i  ( A  \  { B }
) )  =  ( ( A  \  { B } )  i^i  { A } )
13 ssrin 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( A  \  { B } )  i^i 
{ A } ) 
C_  ( A  i^i  { A } ) )
148, 13ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { B } )  i^i  { A } )  C_  ( A  i^i  { A }
)
15 nnord 4380 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
16 orddisj 4317 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  i^i  { A } )  =  (/) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  i^i  { A }
)  =  (/) )
1814, 17syl5sseq 3056 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  \  { B } )  i^i  { A } )  C_  (/) )
19 ss0 3300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { B } )  i^i  { A } )  C_  (/)  ->  (
( A  \  { B } )  i^i  { A } )  =  (/) )
2018, 19syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  \  { B } )  i^i  { A } )  =  (/) )
2112, 20syl5eq 2127 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( { A }  i^i  ( A  \  { B }
) )  =  (/) )
22 disjdif 3332 . . . . 5  |-  ( { B }  i^i  ( A  \  { B }
) )  =  (/)
2321, 22jctil 305 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  (
( { B }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/)  /\  ( { A }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/) ) )
24 unen 6382 . . . 4  |-  ( ( ( { B }  ~~  { A }  /\  ( A  \  { B } )  ~~  ( A  \  { B }
) )  /\  (
( { B }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/)  /\  ( { A }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/) ) )  -> 
( { B }  u.  ( A  \  { B } ) )  ~~  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) ) )
2511, 23, 24sylancr 405 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( { B }  u.  ( A  \  { B }
) )  ~~  ( { A }  u.  ( A  \  { B }
) ) )
2625adantr 270 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { B }  u.  ( A  \  { B } ) )  ~~  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) ) )
27 uncom 3126 . . 3  |-  ( { B }  u.  ( A  \  { B }
) )  =  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )
28 nndifsnid 6167 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } )  =  A )
2927, 28syl5eq 2127 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { B }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  A )
30 phplem1 6408 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  ( suc  A  \  { B } ) )
3126, 29, 303brtr3d 3834 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  A  ~~  ( suc 
A  \  { B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   _Vcvv 2610    \ cdif 2979    u. cun 2980    i^i cin 2981    C_ wss 2982   (/)c0 3267   {csn 3416   <.cop 3419   class class class wbr 3805   Ord word 4145   suc csuc 4148   omcom 4359   -1-1-onto->wf1o 4951    ~~ cen 6306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-en 6309
This theorem is referenced by:  phplem3  6410
  Copyright terms: Public domain W3C validator