Theorem phplem3 6748

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. For a version without the redundant hypotheses, see phplem3g 6750. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	|- A e. _V
phplem2.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
phplem3	|- ( ( A e. om /\ B e. suc A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Proof of Theorem phplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4325	. 2 |- ( B e. suc A -> ( B e. A \/ B = A ) )
2		phplem2.1	. . . 4 |- A e. _V
3		phplem2.2	. . . 4 |- B e. _V
4	2, 3	phplem2 6747	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
5	2	enref 6659	. . . 4 |- A ~~ A
6		nnord 4525	. . . . . 6 |- ( A e. om -> Ord A )
7		orddif 4462	. . . . . 6 |- ( Ord A -> A = ( suc A \ { A } ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. om -> A = ( suc A \ { A } ) )
9		sneq 3538	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A } = { B } )
10	9	difeq2d 3194	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( suc A \ { A } ) = ( suc A \ { B } ) )
11	10	eqcoms 2142	. . . . 5 |- ( B = A -> ( suc A \ { A } ) = ( suc A \ { B } ) )
12	8, 11	sylan9eq 2192	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> A = ( suc A \ { B } ) )
13	5, 12	breqtrid 3965	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
14	4, 13	jaodan 786	. 2 |- ( ( A e. om /\ ( B e. A \/ B = A ) ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
15	1, 14	sylan2 284	1 |- ( ( A e. om /\ B e. suc A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   \ cdif 3068   {csn 3527   class class class wbr 3929   Ord word 4284   suc csuc 4287   omcom 4504   ~~ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-en 6635

This theorem is referenced by:  phplem4  6749  phplem3g  6750