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Theorem phplem4dom 6724
Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
phplem4dom  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  ~<_  suc 
B  ->  A  ~<_  B ) )

Proof of Theorem phplem4dom
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 4479 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  suc  B  e.  om )
21adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  suc  B  e.  om )
3 brdomg 6610 . . . . 5  |-  ( suc 
B  e.  om  ->  ( suc  A  ~<_  suc  B  <->  E. f  f : suc  A
-1-1-> suc  B ) )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  ~<_  suc 
B  <->  E. f  f : suc  A -1-1-> suc  B
) )
54biimpa 294 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B
)  ->  E. f 
f : suc  A -1-1-> suc 
B )
6 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  f : suc  A -1-1-> suc  B )
72ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  suc  B  e. 
om )
8 sssucid 4307 . . . . . . . 8  |-  A  C_  suc  A
98a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  A  C_  suc  A )
10 simplll 507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  A  e.  om )
11 f1imaen2g 6655 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : suc  A
-1-1-> suc  B  /\  suc  B  e.  om )  /\  ( A  C_  suc  A  /\  A  e.  om ) )  ->  (
f " A ) 
~~  A )
126, 7, 9, 10, 11syl22anc 1202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  ( f " A )  ~~  A
)
1312ensymd 6645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  A  ~~  ( f " A
) )
14 difexg 4039 . . . . . . 7  |-  ( suc 
B  e.  om  ->  ( suc  B  \  {
( f `  A
) } )  e. 
_V )
157, 14syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  ( suc  B 
\  { ( f `
 A ) } )  e.  _V )
16 nnord 4495 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
17 orddif 4432 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  A  =  ( suc  A  \  { A } ) )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  A  =  ( suc  A  \  { A } ) )
1918imaeq2d 4851 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  (
f " A )  =  ( f "
( suc  A  \  { A } ) ) )
2010, 19syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  ( f " A )  =  ( f " ( suc 
A  \  { A } ) ) )
21 f1fn 5300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : suc  A -1-1-> suc  B  ->  f  Fn  suc  A )
2221adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  f  Fn  suc  A )
23 sucidg 4308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  suc  A )
2410, 23syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  A  e.  suc  A )
25 fnsnfv 5448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  Fn  suc  A  /\  A  e.  suc  A )  ->  { (
f `  A ) }  =  ( f " { A } ) )
2622, 24, 25syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  { (
f `  A ) }  =  ( f " { A } ) )
2726difeq2d 3164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  ( (
f " suc  A
)  \  { (
f `  A ) } )  =  ( ( f " suc  A )  \  ( f
" { A }
) ) )
28 df-f1 5098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : suc  A -1-1-> suc  B  <-> 
( f : suc  A --> suc  B  /\  Fun  `' f ) )
2928simprbi 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : suc  A -1-1-> suc  B  ->  Fun  `' f
)
30 imadif 5173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  `' f  ->  ( f
" ( suc  A  \  { A } ) )  =  ( ( f " suc  A
)  \  ( f " { A } ) ) )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : suc  A -1-1-> suc  B  ->  ( f "
( suc  A  \  { A } ) )  =  ( ( f " suc  A )  \  (
f " { A } ) ) )
3231adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  ( f " ( suc  A  \  { A } ) )  =  ( ( f " suc  A
)  \  ( f " { A } ) ) )
3327, 32eqtr4d 2153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  ( (
f " suc  A
)  \  { (
f `  A ) } )  =  ( f " ( suc 
A  \  { A } ) ) )
34 f1f 5298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : suc  A -1-1-> suc  B  ->  f : suc  A --> suc  B )
3534adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  f : suc  A --> suc  B )
36 imassrn 4862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f
" suc  A )  C_ 
ran  f
37 frn 5251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : suc  A --> suc  B  ->  ran  f  C_  suc  B )
3836, 37sstrid 3078 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : suc  A --> suc  B  ->  ( f " suc  A )  C_  suc  B )
3935, 38syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  ( f " suc  A )  C_  suc  B )
4039ssdifd 3182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  ( (
f " suc  A
)  \  { (
f `  A ) } )  C_  ( suc  B  \  { ( f `  A ) } ) )
4133, 40eqsstrrd 3104 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  ( f " ( suc  A  \  { A } ) )  C_  ( suc  B 
\  { ( f `
 A ) } ) )
4220, 41eqsstrd 3103 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  ( f " A )  C_  ( suc  B  \  { ( f `  A ) } ) )
43 ssdomg 6640 . . . . . 6  |-  ( ( suc  B  \  {
( f `  A
) } )  e. 
_V  ->  ( ( f
" A )  C_  ( suc  B  \  {
( f `  A
) } )  -> 
( f " A
)  ~<_  ( suc  B  \  { ( f `  A ) } ) ) )
4415, 42, 43sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  ( f " A )  ~<_  ( suc 
B  \  { (
f `  A ) } ) )
45 endomtr 6652 . . . . 5  |-  ( ( A  ~~  ( f
" A )  /\  ( f " A
)  ~<_  ( suc  B  \  { ( f `  A ) } ) )  ->  A  ~<_  ( suc 
B  \  { (
f `  A ) } ) )
4613, 44, 45syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  A  ~<_  ( suc 
B  \  { (
f `  A ) } ) )
47 simpllr 508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  B  e.  om )
4835, 24ffvelrnd 5524 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  ( f `  A )  e.  suc  B )
49 phplem3g 6718 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  ( f `  A
)  e.  suc  B
)  ->  B  ~~  ( suc  B  \  {
( f `  A
) } ) )
5047, 48, 49syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  B  ~~  ( suc  B  \  {
( f `  A
) } ) )
5150ensymd 6645 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  ( suc  B 
\  { ( f `
 A ) } )  ~~  B )
52 domentr 6653 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  ( suc  B  \  { ( f `  A ) } )  /\  ( suc  B  \  { ( f `  A ) } ) 
~~  B )  ->  A  ~<_  B )
5346, 51, 52syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B )  /\  f : suc  A -1-1-> suc  B
)  ->  A  ~<_  B )
545, 53exlimddv 1854 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  A  ~<_  suc  B
)  ->  A  ~<_  B )
5554ex 114 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  ~<_  suc 
B  ->  A  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    \ cdif 3038    C_ wss 3041   {csn 3497   class class class wbr 3899   Ord word 4254   suc csuc 4257   omcom 4474   `'ccnv 4508   ran crn 4510   "cima 4512   Fun wfun 5087    Fn wfn 5088   -->wf 5089   -1-1->wf1 5090   ` cfv 5093    ~~ cen 6600    ~<_ cdom 6601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604
This theorem is referenced by:  php5dom  6725
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