ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitoregt0 Unicode version

Theorem pitoregt0 7079
Description: Embedding from  N. to  RR yields a number greater than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
pitoregt0  |-  ( N  e.  N.  ->  0  <RR 
<. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )
Distinct variable group:    N, l, u

Proof of Theorem pitoregt0
StepHypRef Expression
1 1pr 6806 . . . . . 6  |-  1P  e.  P.
2 addclpr 6789 . . . . . 6  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
31, 1, 2mp2an 417 . . . . 5  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
4 nnprlu 6805 . . . . 5  |-  ( N  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
5 ltaddpr 6849 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  <P  ( ( 1P 
+P.  1P )  +P.  <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. ) )
63, 4, 5sylancr 405 . . . 4  |-  ( N  e.  N.  ->  ( 1P  +P.  1P )  <P 
( ( 1P  +P.  1P )  +P.  <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. ) )
71a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  N.  ->  1P  e.  P. )
8 addassprg 6831 . . . . . 6  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P.  /\  <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )  -> 
( ( 1P  +P.  1P )  +P.  <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. )  =  ( 1P  +P.  ( 1P 
+P.  <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. ) ) )
97, 7, 4, 8syl3anc 1170 . . . . 5  |-  ( N  e.  N.  ->  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. )  =  ( 1P 
+P.  ( 1P  +P.  <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. ) ) )
10 addcomprg 6830 . . . . . . 7  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. )  =  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) )
111, 4, 10sylancr 405 . . . . . 6  |-  ( N  e.  N.  ->  ( 1P  +P.  <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. )  =  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) )
1211oveq2d 5559 . . . . 5  |-  ( N  e.  N.  ->  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. ) )  =  ( 1P  +P.  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ) )
139, 12eqtrd 2114 . . . 4  |-  ( N  e.  N.  ->  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. )  =  ( 1P 
+P.  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )
) )
146, 13breqtrd 3817 . . 3  |-  ( N  e.  N.  ->  ( 1P  +P.  1P )  <P 
( 1P  +P.  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ) )
15 addclpr 6789 . . . . 5  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P. )
164, 1, 15sylancl 404 . . . 4  |-  ( N  e.  N.  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P. )
17 ltsrprg 6986 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  /\  ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. ) )  ->  ( [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )
) ) )
181, 1, 17mpanl12 427 . . . 4  |-  ( ( ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )  e. 
P.  /\  1P  e.  P. )  ->  ( [
<. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )
) ) )
1916, 1, 18sylancl 404 . . 3  |-  ( N  e.  N.  ->  ( [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P )
) ) )
2014, 19mpbird 165 . 2  |-  ( N  e.  N.  ->  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
21 df-0 7050 . . . 4  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
2221breq1i 3800 . . 3  |-  ( 0 
<RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. 
<-> 
<. 0R ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )
23 ltresr 7069 . . 3  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. 
<->  0R  <R  [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
24 df-0r 6970 . . . 4  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
2524breq1i 3800 . . 3  |-  ( 0R 
<R  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
2622, 23, 253bitri 204 . 2  |-  ( 0 
<RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. 
<->  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
2720, 26sylibr 132 1  |-  ( N  e.  N.  ->  0  <RR 
<. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2068   <.cop 3409   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   1oc1o 6058   [cec 6170   N.cnpi 6524    ~Q ceq 6531    <Q cltq 6537   P.cnp 6543   1Pc1p 6544    +P. cpp 6545    <P cltp 6547    ~R cer 6548   0Rc0r 6550    <R cltr 6555   0cc0 7043    <RR cltrr 7047
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-2o 6066  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-0nq0 6678  df-plq0 6679  df-mq0 6680  df-inp 6718  df-i1p 6719  df-iplp 6720  df-iltp 6722  df-enr 6965  df-nr 6966  df-ltr 6969  df-0r 6970  df-0 7050  df-r 7053  df-lt 7056
This theorem is referenced by:  recriota  7118
  Copyright terms: Public domain W3C validator