Theorem pncan2 7459

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pncan2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - A ) = B )

Proof of Theorem pncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcom 7389	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
2	1	oveq1d 5580	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( B + A ) - A ) = ( ( A + B ) - A ) )
3		pncan 7458	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( B + A ) - A ) = B )
4	2, 3	eqtr3d 2117	. 2 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A + B ) - A ) = B )
5	4	ancoms 264	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - A ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434  (class class class)co 5565   CCcc 7118   + caddc 7123   - cmin 7423

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-setind 4309  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-cnre 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-sub 7425

This theorem is referenced by:  subid  7471  pnpcan  7491  pnncan  7493  pncan2d  7565  fzrev3  9257  fzrevral3  9277  fzosubel2  9358  facndiv  9840  bcnp1n  9860