ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pncan3 Unicode version

Theorem pncan3 7435
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
pncan3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )

Proof of Theorem pncan3
StepHypRef Expression
1 eqid 2083 . 2  |-  ( B  -  A )  =  ( B  -  A
)
2 simpr 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
3 simpl 107 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
4 subcl 7426 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
54ancoms 264 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
6 subadd 7430 . . 3  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( B  -  A )  e.  CC )  ->  (
( B  -  A
)  =  ( B  -  A )  <->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B ) )
72, 3, 5, 6syl3anc 1170 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B  -  A )  =  ( B  -  A )  <-> 
( A  +  ( B  -  A ) )  =  B ) )
81, 7mpbii 146 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434  (class class class)co 5563   CCcc 7093    + caddc 7098    - cmin 7398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-setind 4308  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-sub 7400
This theorem is referenced by:  npcan  7436  nncan  7456  npncan3  7465  negid  7474  pncan3i  7504  pncan3d  7541  subdi  7608  posdif  7678  fzonmapblen  9325  frecfzen2  9561  bernneq2  9743  hashfz  9897  dvdssubr  10449
  Copyright terms: Public domain W3C validator