Theorem pnfge 9568

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	|- ( A e. RR* -> A <_ +oo )

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 9566	. 2 |- ( A e. RR* -> -. +oo < A )
2		pnfxr 7811	. . 3 |- +oo e. RR*
3		xrlenlt 7822	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A <_ +oo <-> -. +oo < A ) )
4	2, 3	mpan2 421	. 2 |- ( A e. RR* -> ( A <_ +oo <-> -. +oo < A ) )
5	1, 4	mpbird 166	1 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   +oocpnf 7790   RR*cxr 7792   < clt 7793   <_ cle 7794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799

This theorem is referenced by:  0lepnf  9569  xrre2  9597  xleadd1a  9649  xltadd1  9652  xlt2add  9656  xsubge0  9657  xlesubadd  9659  xleaddadd  9663  elico2  9713  iccmax  9725  elxrge0  9754  xrmaxifle  11008  xrmaxadd  11023  xrbdtri  11038  isxmet2d  12506  blssec  12596