Theorem poxp 6129

Description: A lexicographical ordering of two posets. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
poxp.1	|- T = { <. x , y >. | ( ( x e. ( A X. B ) /\ y e. ( A X. B ) ) /\ ( ( 1st ` x ) R ( 1st ` y ) \/ ( ( 1st ` x ) = ( 1st ` y ) /\ ( 2nd ` x ) S ( 2nd ` y ) ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
poxp	|- ( ( R Po A /\ S Po B ) -> T Po ( A X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, R, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   T( x, y)

Proof of Theorem poxp

Dummy variables a b c d e f t u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4556	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( A X. B ) <-> E. a E. b ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) )
2		elxp 4556	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( A X. B ) <-> E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) )
3		elxp 4556	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( A X. B ) <-> E. e E. f ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) )
4		3an6 1300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) /\ ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) /\ ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) <-> ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) )
5		poirr 4229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( R Po A /\ a e. A ) -> -. a R a )
6	5	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( R Po A -> ( a e. A -> -. a R a ) )
7		poirr 4229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( S Po B /\ b e. B ) -> -. b S b )
8	7	intnand 916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( S Po B /\ b e. B ) -> -. ( a = a /\ b S b ) )
9	8	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( S Po B -> ( b e. B -> -. ( a = a /\ b S b ) ) )
10	6, 9	im2anan9 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( -. a R a /\ -. ( a = a /\ b S b ) ) ) )
11		ioran 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( -. ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) <-> ( -. a R a /\ -. ( a = a /\ b S b ) ) )
12	10, 11	syl6ibr 161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> -. ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) )
13	12	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> -. ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) )
14	13	intnand 916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> -. ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) )
15	14	3ad2antr1 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> -. ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) )
16		an4 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) <-> ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) ) /\ ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) )
17		3an6 1300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) <-> ( ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) )
18		potr 4230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) -> ( ( a R c /\ c R e ) -> a R e ) )
19	18	3impia 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) /\ ( a R c /\ c R e ) ) -> a R e )
20	19	orcd 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) /\ ( a R c /\ c R e ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) )
21	20	3expia 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) -> ( ( a R c /\ c R e ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
22	21	expdimp 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) /\ a R c ) -> ( c R e -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
23		breq2 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( c = e -> ( a R c <-> a R e ) )
24	23	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( c = e /\ a R c ) -> a R e )
25	24	orcd 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( c = e /\ a R c ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) )
26	25	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( a R c -> ( c = e -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
27	26	adantrd 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( a R c -> ( ( c = e /\ d S f ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
28	27	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) /\ a R c ) -> ( ( c = e /\ d S f ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
29	22, 28	jaod 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) /\ a R c ) -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
30	29	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) -> ( a R c -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
31		potr 4230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) -> ( ( b S d /\ d S f ) -> b S f ) )
32	31	expdimp 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) /\ b S d ) -> ( d S f -> b S f ) )
33	32	anim2d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) /\ b S d ) -> ( ( c = e /\ d S f ) -> ( c = e /\ b S f ) ) )
34	33	orim2d 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) /\ b S d ) -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( c R e \/ ( c = e /\ b S f ) ) ) )
35		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( a = c -> ( a R e <-> c R e ) )
36		equequ1 1688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( a = c -> ( a = e <-> c = e ) )
37	36	anbi1d 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( a = c -> ( ( a = e /\ b S f ) <-> ( c = e /\ b S f ) ) )
38	35, 37	orbi12d 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( a = c -> ( ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) <-> ( c R e \/ ( c = e /\ b S f ) ) ) )
39	38	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( a = c -> ( ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) <-> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( c R e \/ ( c = e /\ b S f ) ) ) ) )
40	34, 39	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( a = c -> ( ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) /\ b S d ) -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
41	40	expd 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( a = c -> ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) -> ( b S d -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) ) )
42	41	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) -> ( a = c -> ( b S d -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) ) )
43	42	impd 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) -> ( ( a = c /\ b S d ) -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
44	30, 43	jaao 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) /\ ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) ) -> ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
45	44	impd 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) /\ ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) ) -> ( ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
46	45	an4s 577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) ) -> ( ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
47	17, 46	sylan2b 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
48		an4 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) <-> ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) )
49	48	biimpi 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) )
50	49	3adant2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) )
51	50	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) )
52	47, 51	jctild 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
53	52	adantld 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) ) /\ ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
54	16, 53	syl5bi 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
55	15, 54	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( -. ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) /\ ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) ) )
56		breq12 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( t = <. a , b >. /\ t = <. a , b >. ) -> ( t T t <-> <. a , b >. T <. a , b >. ) )
57	56	anidms 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( t = <. a , b >. -> ( t T t <-> <. a , b >. T <. a , b >. ) )
58	57	notbid 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( t = <. a , b >. -> ( -. t T t <-> -. <. a , b >. T <. a , b >. ) )
59	58	3ad2ant1 1002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( -. t T t <-> -. <. a , b >. T <. a , b >. ) )
60		breq12 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. ) -> ( t T u <-> <. a , b >. T <. c , d >. ) )
61	60	3adant3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( t T u <-> <. a , b >. T <. c , d >. ) )
62		breq12 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( u T v <-> <. c , d >. T <. e , f >. ) )
63	62	3adant1 999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( u T v <-> <. c , d >. T <. e , f >. ) )
64	61, 63	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( ( t T u /\ u T v ) <-> ( <. a , b >. T <. c , d >. /\ <. c , d >. T <. e , f >. ) ) )
65		breq12 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( t = <. a , b >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( t T v <-> <. a , b >. T <. e , f >. ) )
66	65	3adant2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( t T v <-> <. a , b >. T <. e , f >. ) )
67	64, 66	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) <-> ( ( <. a , b >. T <. c , d >. /\ <. c , d >. T <. e , f >. ) -> <. a , b >. T <. e , f >. ) ) )
68	59, 67	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) <-> ( -. <. a , b >. T <. a , b >. /\ ( ( <. a , b >. T <. c , d >. /\ <. c , d >. T <. e , f >. ) -> <. a , b >. T <. e , f >. ) ) ) )
69		poxp.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- T = { <. x , y >. | ( ( x e. ( A X. B ) /\ y e. ( A X. B ) ) /\ ( ( 1st ` x ) R ( 1st ` y ) \/ ( ( 1st ` x ) = ( 1st ` y ) /\ ( 2nd ` x ) S ( 2nd ` y ) ) ) ) }
70	69	xporderlem 6128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( <. a , b >. T <. a , b >. <-> ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) )
71	70	notbii 657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. <. a , b >. T <. a , b >. <-> -. ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) )
72	69	xporderlem 6128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( <. a , b >. T <. c , d >. <-> ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) )
73	69	xporderlem 6128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( <. c , d >. T <. e , f >. <-> ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) )
74	72, 73	anbi12i 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( <. a , b >. T <. c , d >. /\ <. c , d >. T <. e , f >. ) <-> ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) )
75	69	xporderlem 6128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( <. a , b >. T <. e , f >. <-> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
76	74, 75	imbi12i 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( <. a , b >. T <. c , d >. /\ <. c , d >. T <. e , f >. ) -> <. a , b >. T <. e , f >. ) <-> ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
77	71, 76	anbi12i 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. <. a , b >. T <. a , b >. /\ ( ( <. a , b >. T <. c , d >. /\ <. c , d >. T <. e , f >. ) -> <. a , b >. T <. e , f >. ) ) <-> ( -. ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) /\ ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) ) )
78	68, 77	syl6bb 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) <-> ( -. ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) /\ ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) ) ) )
79	55, 78	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) )
80	79	expcomd 1417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) )
81	80	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) )
82	4, 81	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) /\ ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) /\ ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) )
83	82	3exp 1180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
84	83	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
85	84	exlimivv 1868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
86	85	com3l 81	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
87	86	exlimivv 1868	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. e E. f ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
88	87	com3l 81	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( E. e E. f ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
89	88	exlimivv 1868	. . . . . . . . 9 |- ( E. a E. b ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( E. e E. f ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
90	89	3imp 1175	. . . . . . . 8 |- ( ( E. a E. b ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) /\ E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) /\ E. e E. f ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) )
91	1, 2, 3, 90	syl3anb 1259	. . . . . . 7 |- ( ( t e. ( A X. B ) /\ u e. ( A X. B ) /\ v e. ( A X. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) )
92	91	3expia 1183	. . . . . 6 |- ( ( t e. ( A X. B ) /\ u e. ( A X. B ) ) -> ( v e. ( A X. B ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) )
93	92	com3r 79	. . . . 5 |- ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( ( t e. ( A X. B ) /\ u e. ( A X. B ) ) -> ( v e. ( A X. B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) )
94	93	imp 123	. . . 4 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( t e. ( A X. B ) /\ u e. ( A X. B ) ) ) -> ( v e. ( A X. B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) )
95	94	ralrimiv 2504	. . 3 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( t e. ( A X. B ) /\ u e. ( A X. B ) ) ) -> A. v e. ( A X. B ) ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) )
96	95	ralrimivva 2514	. 2 |- ( ( R Po A /\ S Po B ) -> A. t e. ( A X. B ) A. u e. ( A X. B ) A. v e. ( A X. B ) ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) )
97		df-po 4218	. 2 |- ( T Po ( A X. B ) <-> A. t e. ( A X. B ) A. u e. ( A X. B ) A. v e. ( A X. B ) ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) )
98	96, 97	sylibr 133	1 |- ( ( R Po A /\ S Po B ) -> T Po ( A X. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   /\ w3a 962   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   <.cop 3530   class class class wbr 3929   {copab 3988   Po wpo 4216   X. cxp 4537   ` cfv 5123   1stc1st 6036   2ndc2nd 6037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039

This theorem is referenced by: (None)