ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pr2ne Unicode version

Theorem pr2ne 6572
Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
pr2ne  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  A  =/=  B ) )

Proof of Theorem pr2ne
StepHypRef Expression
1 preq2 3488 . . . . 5  |-  ( B  =  A  ->  { A ,  B }  =  { A ,  A }
)
21eqcoms 2086 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  B }  =  { A ,  A }
)
3 enpr1g 6366 . . . . . 6  |-  ( A  e.  C  ->  { A ,  A }  ~~  1o )
43adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  A }  ~~  1o )
5 prexg 3994 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  B }  e.  _V )
6 eqeng 6334 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  e.  _V  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  { A ,  B }  ~~  { A ,  A } ) )
75, 6syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  { A ,  B }  ~~  { A ,  A } ) )
8 entr 6352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  /\  { A ,  A }  ~~  1o )  ->  { A ,  B }  ~~  1o )
9 1nen2 6417 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  ~~  2o
10 ensym 6349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  1o  ~~  { A ,  B }
)
11 entr 6352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1o  ~~  { A ,  B }  /\  { A ,  B }  ~~  2o )  ->  1o  ~~  2o )
1211ex 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o 
~~  { A ,  B }  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  1o  ~~  2o ) )
1310, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  1o  ~~  2o ) )
149, 13mtoi 623 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o )
1514a1d 22 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B }  ~~  1o  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
168, 15syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  /\  { A ,  A }  ~~  1o )  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
1716ex 113 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  ->  ( { A ,  A }  ~~  1o  ->  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
1817com3r 78 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  { A ,  A }  ->  ( { A ,  A }  ~~  1o  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
197, 18syld 44 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  ( { A ,  A }  ~~  1o  ->  -. 
{ A ,  B }  ~~  2o ) ) )
204, 19mpid 41 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  =  { A ,  A }  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
212, 20syl5 32 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  =  B  ->  -.  { A ,  B }  ~~  2o ) )
2221necon2ad 2306 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  A  =/=  B ) )
23 pr2nelem 6571 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  ~~  2o )
24233expia 1141 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  =/=  B  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
2522, 24impbid 127 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  A  =/=  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249   _Vcvv 2610   {cpr 3417   class class class wbr 3805   1oc1o 6078   2oc2o 6079    ~~ cen 6306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-1o 6085  df-2o 6086  df-er 6193  df-en 6309
This theorem is referenced by:  isprm2lem  10705
  Copyright terms: Public domain W3C validator