Theorem pr2ne 7041

Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o <-> A =/= B ) )

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3596	. . . . 5 |- ( B = A -> { A , B } = { A , A } )
2	1	eqcoms 2140	. . . 4 |- ( A = B -> { A , B } = { A , A } )
3		enpr1g 6685	. . . . . 6 |- ( A e. C -> { A , A } ~~ 1o )
4	3	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { A , A } ~~ 1o )
5		prexg 4128	. . . . . . 7 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { A , B } e. _V )
6		eqeng 6653	. . . . . . 7 |- ( { A , B } e. _V -> ( { A , B } = { A , A } -> { A , B } ~~ { A , A } ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> { A , B } ~~ { A , A } ) )
8		entr 6671	. . . . . . . . 9 |- ( ( { A , B } ~~ { A , A } /\ { A , A } ~~ 1o ) -> { A , B } ~~ 1o )
9		1nen2 6748	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1o ~~ 2o
10		ensym 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { A , B } ~~ 1o -> 1o ~~ { A , B } )
11		entr 6671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1o ~~ { A , B } /\ { A , B } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
12	11	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o ~~ { A , B } -> ( { A , B } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( { A , B } ~~ 1o -> ( { A , B } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
14	9, 13	mtoi 653	. . . . . . . . . 10 |- ( { A , B } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o )
15	14	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( { A , B } ~~ 1o -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
16	8, 15	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( { A , B } ~~ { A , A } /\ { A , A } ~~ 1o ) -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
17	16	ex 114	. . . . . . 7 |- ( { A , B } ~~ { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> ( ( A e. C /\ B e. D ) -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
18	17	com3r 79	. . . . . 6 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
19	7, 18	syld 45	. . . . 5 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> ( { A , A } ~~ 1o -> -. { A , B } ~~ 2o ) ) )
20	4, 19	mpid 42	. . . 4 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } = { A , A } -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
21	2, 20	syl5 32	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A = B -> -. { A , B } ~~ 2o ) )
22	21	necon2ad 2363	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o -> A =/= B ) )
23		pr2nelem 7040	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )
24	23	3expia 1183	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A =/= B -> { A , B } ~~ 2o ) )
25	22, 24	impbid 128	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( { A , B } ~~ 2o <-> A =/= B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   _Vcvv 2681   {cpr 3523   class class class wbr 3924   1oc1o 6299   2oc2o 6300   ~~ cen 6625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-1o 6306  df-2o 6307  df-er 6422  df-en 6628

This theorem is referenced by:  exmidonfinlem  7042  isprm2lem  11786  pw1dom2  13179