ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloc Unicode version

Theorem prarloc 6659
Description: A Dedekind cut is arithmetically located. Part of Proposition 11.15 of [BauerTaylor], p. 52, slightly modified. It states that given a tolerance  P, there are elements of the lower and upper cut which are within that tolerance of each other.

Usually, proofs will be shorter if they use prarloc2 6660 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.)

Assertion
Ref Expression
prarloc  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  E. a  e.  L  E. b  e.  U  b  <Q  ( a  +Q  P ) )
Distinct variable groups:    L, a, b    P, a, b    U, a, b

Proof of Theorem prarloc
Dummy variables  m  n  q  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prml 6633 . . . . . . 7  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  E. x  e.  Q.  x  e.  L )
2 df-rex 2329 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  Q.  x  e.  L  <->  E. x ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L ) )
31, 2sylib 131 . . . . . 6  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  E. x ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L ) )
43adantr 265 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  E. x
( x  e.  Q.  /\  x  e.  L ) )
5 prmu 6634 . . . . . . 7  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  E. y  e.  Q.  y  e.  U )
6 df-rex 2329 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  Q.  y  e.  U  <->  E. y ( y  e.  Q.  /\  y  e.  U ) )
75, 6sylib 131 . . . . . 6  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  E. y ( y  e.  Q.  /\  y  e.  U ) )
87adantr 265 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  E. y
( y  e.  Q.  /\  y  e.  U ) )
9 subhalfnqq 6570 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Q.  ->  E. q  e.  Q.  ( q  +Q  q )  <Q  P )
109adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  E. q  e.  Q.  ( q  +Q  q )  <Q  P )
11 df-rex 2329 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  Q.  (
q  +Q  q ) 
<Q  P  <->  E. q ( q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P ) )
1210, 11sylib 131 . . . . . . 7  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  E. q
( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) )
1312ancli 310 . . . . . 6  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  /\  E. q
( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )
14 19.42v 1802 . . . . . 6  |-  ( E. q ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) )  <-> 
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  E. q ( q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P ) ) )
1513, 14sylibr 141 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  E. q
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )
16 eeeanv 1824 . . . . 5  |-  ( E. x E. y E. q ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  <->  ( E. x
( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  E. y ( y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  E. q ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) ) )
174, 8, 15, 16syl3anbrc 1099 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  E. x E. y E. q ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  e.  U )  /\  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) ) )
18 prarloclemarch2 6575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  E. n  e.  N.  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  (
x  +Q  ( [
<. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) ) )
19 df-rex 2329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. n  e.  N.  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) )  <->  E. n
( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) ) ) )
2018, 19sylib 131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  E. n
( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) ) ) )
21203com12 1119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  E. n
( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) ) ) )
22213adant1r 1139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  y  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  E. n ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )
23223adant2r 1141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  e.  U )  /\  q  e.  Q. )  ->  E. n
( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) ) ) )
24233adant3r 1143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  e.  U )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) )  ->  E. n ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )
25243adant3l 1142 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  e.  U )  /\  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  ->  E. n
( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) ) ) )
2625ancli 310 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  e.  U )  /\  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  ->  ( (
( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  e.  U )  /\  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  E. n
( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) ) ) ) )
27 19.42v 1802 . . . . . . 7  |-  ( E. n ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  <->  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  E. n
( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) ) ) ) )
2826, 27sylibr 141 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  e.  U )  /\  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  ->  E. n
( ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) ) )
29282eximi 1508 . . . . 5  |-  ( E. y E. q ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  e.  U )  /\  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  ->  E. y E. q E. n ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) ) )
3029eximi 1507 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. q ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  ->  E. x E. y E. q E. n ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) ) )
31 simpl1l 966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  x  e.  Q. )
32 simp3rl 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  e.  U )  /\  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  ->  q  e.  Q. )
3332adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  q  e.  Q. )
34 simp3rr 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  e.  U )  /\  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  ->  ( q  +Q  q )  <Q  P )
3534adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  ( q  +Q  q )  <Q  P )
3631, 33, 353jca 1095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  ( x  e.  Q.  /\  q  e. 
Q.  /\  ( q  +Q  q )  <Q  P ) )
37 simp3ll 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  e.  L )  /\  ( y  e. 
Q.  /\  y  e.  U )  /\  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  (
q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  ->  <. L ,  U >.  e.  P. )
3837adantr 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  <. L ,  U >.  e.  P. )
39 simpl1r 967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  x  e.  L )
40 simprl 491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  n  e.  N. )
41 simprrl 499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  1o  <N  n )
42 simprrr 500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  y  <Q  ( x  +Q  ( [
<. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )
43 simpl2r 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  y  e.  U )
44 prcunqu 6641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  y  e.  U )  ->  (
y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) )  ->  (
x  +Q  ( [
<. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) )
4538, 43, 44syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  ( y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) )  ->  (
x  +Q  ( [
<. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) )
4642, 45mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U )
47 prarloclem 6657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  x  e.  L )  /\  (
n  e.  N.  /\  q  e.  Q.  /\  1o  <N  n )  /\  (
x  +Q  ( [
<. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U )  ->  E. m  e.  om  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) )
4838, 39, 40, 33, 41, 46, 47syl231anc 1166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  E. m  e.  om  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) )
49 df-rex 2329 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. m  e.  om  (
( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U )  <->  E. m ( m  e. 
om  /\  ( (
x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )
5048, 49sylib 131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  E. m
( m  e.  om  /\  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )
5136, 50jca 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  E. m ( m  e. 
om  /\  ( (
x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) )
52 19.42v 1802 . . . . . . . 8  |-  ( E. m ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q )  <Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )  <->  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  E. m ( m  e. 
om  /\  ( (
x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) )
5351, 52sylibr 141 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  E. m
( ( x  e. 
Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q )  <Q  P )  /\  ( m  e. 
om  /\  ( (
x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) )
54 simprrl 499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )  ->  (
x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  e.  L )
55 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  ->  ( a  e.  L  <->  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L ) )
5655anbi1d 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  ->  ( (
a  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U )  <-> 
( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )
5756anbi2d 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  ->  ( (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) )  <->  ( m  e. 
om  /\  ( (
x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) )
5857anbi2d 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  ->  ( (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )  <->  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) ) )
5958ceqsexgv 2696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  e.  L  -> 
( E. a ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) )  <->  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) ) )
6059biimprcd 153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )  ->  (
( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  ->  E. a ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  /\  ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) ) ) )
6154, 60mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )  ->  E. a
( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) ) )
62 simprrr 500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )  ->  (
x  +Q  ( [
<. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U )
63 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  ->  ( b  e.  U  <->  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) )
6463anbi2d 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  ->  ( (
a  e.  L  /\  b  e.  U )  <->  ( a  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )
6564anbi2d 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  ->  ( (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) )  <->  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  (
x  +Q  ( [
<. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) )
6665anbi2d 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  ->  ( (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) )  <->  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) ) )
6766anbi2d 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  ->  ( (
a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  <-> 
( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) ) ) )
6867exbidv 1722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  ->  ( E. a ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  /\  ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  <->  E. a ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  /\  ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) ) ) )
6968ceqsexgv 2696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  +Q  ( [
<. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U  ->  ( E. b ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  /\  E. a
( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) ) )  <->  E. a ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  /\  ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) ) ) )
7069biimprcd 153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  /\  ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) ) )  -> 
( ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U  ->  E. b ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  /\  E. a
( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) ) ) ) )
7161, 62, 70sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )  ->  E. b
( b  =  ( x  +Q  ( [
<. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  /\  E. a ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  /\  ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) ) ) )
72 19.42v 1802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  /\  ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  /\  ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) ) )  <->  ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  /\  E. a
( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) ) ) )
7372exbii 1512 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b E. a ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  /\  ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) ) )  <->  E. b ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  /\  E. a
( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) ) ) )
7471, 73sylibr 141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )  ->  E. b E. a ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  /\  ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  /\  ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) ) ) )
75 simprrl 499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) )  -> 
a  e.  L )
7675adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )  /\  (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  ->  a  e.  L
)
77 simprrr 500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) )  -> 
b  e.  U )
7877adantl 266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )  /\  (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  ->  b  e.  U
)
79 simpl 106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )  /\  (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  ->  ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) ) )
80 simprl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )  /\  (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  ->  q  e.  Q. )
81 simprl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )  /\  (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  ->  ( q  +Q  q )  <Q  P )
8280, 81jca 294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )  /\  (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  ->  ( q  e. 
Q.  /\  ( q  +Q  q )  <Q  P ) )
83 simprl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )  /\  (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  ->  x  e.  Q. )
84 simprrl 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )  /\  (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  ->  m  e.  om )
8583, 84jca 294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )  /\  (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  ->  ( x  e. 
Q.  /\  m  e.  om ) )
86 prarloclemcalc 6658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )  /\  (
( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( x  e.  Q.  /\  m  e.  om )
) )  ->  b  <Q  ( a  +Q  P
) )
8779, 82, 85, 86syl12anc 1144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )  /\  (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  ->  b  <Q  (
a  +Q  P ) )
8878, 87jca 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )  /\  (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  ->  ( b  e.  U  /\  b  <Q 
( a  +Q  P
) ) )
8976, 88jca 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) ) )  /\  (
( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  ->  ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) ) )
9089ancom1s 511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  =  ( x  +Q  ( [
<. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  /\  a  =  ( x +Q0  ( [
<. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
q ) ) )  /\  ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q )  <Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) )  ->  ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) ) )
9190anasss 385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  /\  ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) ) )  ->  ( a  e.  L  /\  (
b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P ) ) ) )
92912eximi 1508 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b E. a ( b  =  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  /\  ( a  =  ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q )
)  /\  ( (
x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  (
q  +Q  q ) 
<Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( a  e.  L  /\  b  e.  U
) ) ) ) )  ->  E. b E. a ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) ) )
9374, 92syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P )  /\  ( m  e.  om  /\  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )  ->  E. b E. a ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) ) )
9493exlimiv 1505 . . . . . . 7  |-  ( E. m ( ( x  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q )  <Q  P )  /\  (
m  e.  om  /\  ( ( x +Q0  ( [ <. m ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  q ) )  e.  L  /\  ( x  +Q  ( [ <. ( m  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q ) )  e.  U ) ) )  ->  E. b E. a ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) ) )
9553, 94syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  E. b E. a ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) ) )
9695exlimivv 1792 . . . . 5  |-  ( E. q E. n ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  E. b E. a ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) ) )
9796exlimivv 1792 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. q E. n ( ( ( x  e. 
Q.  /\  x  e.  L )  /\  (
y  e.  Q.  /\  y  e.  U )  /\  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  P  e.  Q. )  /\  ( q  e.  Q.  /\  ( q  +Q  q
)  <Q  P ) ) )  /\  ( n  e.  N.  /\  ( 1o  <N  n  /\  y  <Q  ( x  +Q  ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  .Q  q
) ) ) ) )  ->  E. b E. a ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) ) )
9817, 30, 973syl 17 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  E. b E. a ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) ) )
99 excom 1570 . . 3  |-  ( E. b E. a ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P ) ) )  <->  E. a E. b
( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P ) ) ) )
10098, 99sylib 131 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  E. a E. b ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) ) )
101 19.42v 1802 . . . . 5  |-  ( E. b ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) )  <->  ( a  e.  L  /\  E. b
( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P ) ) ) )
102 df-rex 2329 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  U  b 
<Q  ( a  +Q  P
)  <->  E. b ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) )
103102anbi2i 438 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  L  /\  E. b  e.  U  b 
<Q  ( a  +Q  P
) )  <->  ( a  e.  L  /\  E. b
( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P ) ) ) )
104101, 103bitr4i 180 . . . 4  |-  ( E. b ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) )  <->  ( a  e.  L  /\  E. b  e.  U  b  <Q  ( a  +Q  P ) ) )
105104exbii 1512 . . 3  |-  ( E. a E. b ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P ) ) )  <->  E. a ( a  e.  L  /\  E. b  e.  U  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) )
106 df-rex 2329 . . 3  |-  ( E. a  e.  L  E. b  e.  U  b  <Q  ( a  +Q  P
)  <->  E. a ( a  e.  L  /\  E. b  e.  U  b  <Q  ( a  +Q  P
) ) )
107105, 106bitr4i 180 . 2  |-  ( E. a E. b ( a  e.  L  /\  ( b  e.  U  /\  b  <Q  ( a  +Q  P ) ) )  <->  E. a  e.  L  E. b  e.  U  b  <Q  ( a  +Q  P ) )
108100, 107sylib 131 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  E. a  e.  L  E. b  e.  U  b  <Q  ( a  +Q  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    /\ w3a 896    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   E.wrex 2324   <.cop 3406   class class class wbr 3792   omcom 4341  (class class class)co 5540   1oc1o 6025   2oc2o 6026    +o coa 6029   [cec 6135   N.cnpi 6428    <N clti 6431    ~Q ceq 6435   Q.cnq 6436    +Q cplq 6438    .Q cmq 6439    <Q cltq 6441   ~Q0 ceq0 6442   +Q0 cplq0 6445   ·Q0 cmq0 6446   P.cnp 6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622
This theorem is referenced by:  prarloc2  6660  addlocpr  6692  prmuloc  6722  ltaddpr  6753  ltexprlemloc  6763  ltexprlemrl  6766  ltexprlemru  6768
  Copyright terms: Public domain W3C validator