ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemarch2 Unicode version

Theorem prarloclemarch2 6575
Description: Like prarloclemarch 6574 but the integer must be at least two, and there is also  B added to the right hand side. These details follow straightforwardly but are chosen to be helpful in the proof of prarloc 6659. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemarch2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C

Proof of Theorem prarloclemarch2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prarloclemarch 6574 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  E. z  e.  N.  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
213adant2 934 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  E. z  e.  N.  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
3 pinn 6465 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  om )
4 1pi 6471 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  N.
54elexi 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
65sucid 4182 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  suc  1o
7 df-2o 6033 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  suc  1o
86, 7eleqtrri 2129 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  2o
9 2onn 6125 . . . . . . . . . . 11  |-  2o  e.  om
10 nnaword2 6118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  2o  C_  ( z  +o  2o ) )
119, 10mpan 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  2o  C_  ( z  +o  2o ) )
1211sseld 2972 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  ( 1o  e.  2o  ->  1o  e.  ( z  +o  2o ) ) )
138, 12mpi 15 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  om  ->  1o  e.  ( z  +o  2o ) )
143, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  N.  ->  1o  e.  ( z  +o  2o ) )
15 o1p1e2 6079 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 
+o  1o )  =  2o
16 addpiord 6472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  =  ( 1o  +o  1o ) )
174, 4, 16mp2an 410 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o 
+N  1o )  =  ( 1o  +o  1o )
18 addclpi 6483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  e.  N. )
194, 4, 18mp2an 410 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o 
+N  1o )  e. 
N.
2017, 19eqeltrri 2127 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 
+o  1o )  e. 
N.
2115, 20eqeltrri 2127 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  N.
22 addpiord 6472 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  2o  e.  N. )  -> 
( z  +N  2o )  =  ( z  +o  2o ) )
2321, 22mpan2 409 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  2o )  =  ( z  +o  2o ) )
2414, 23eleqtrrd 2133 . . . . . 6  |-  ( z  e.  N.  ->  1o  e.  ( z  +N  2o ) )
25 addclpi 6483 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  2o  e.  N. )  -> 
( z  +N  2o )  e.  N. )
2621, 25mpan2 409 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  +N  2o )  e.  N. )
27 ltpiord 6475 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  ( z  +N  2o )  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  (
z  +N  2o )  <-> 
1o  e.  ( z  +N  2o ) ) )
284, 27mpan 408 . . . . . . 7  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  ( 1o  <N  ( z  +N  2o )  <->  1o  e.  ( z  +N  2o ) ) )
2926, 28syl 14 . . . . . 6  |-  ( z  e.  N.  ->  ( 1o  <N  ( z  +N  2o )  <->  1o  e.  ( z  +N  2o ) ) )
3024, 29mpbird 160 . . . . 5  |-  ( z  e.  N.  ->  1o  <N  ( z  +N  2o ) )
3130adantl 266 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  1o  <N  (
z  +N  2o ) )
3231adantrr 456 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  1o  <N  ( z  +N  2o ) )
33 nna0 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  =  z )
34 0lt1o 6054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  e.  1o
35 1on 6039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1o  e.  On
3635onsuci 4270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  suc  1o  e.  On
37 ontr1 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( suc 
1o  e.  On  ->  ( ( (/)  e.  1o  /\  1o  e.  suc  1o )  ->  (/)  e.  suc  1o ) )
3836, 37ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
(/)  e.  1o  /\  1o  e.  suc  1o )  ->  (/) 
e.  suc  1o )
3934, 6, 38mp2an 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  e.  suc  1o
4039, 7eleqtrri 2129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (/)  e.  2o
41 nnaordi 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( (/)  e.  2o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  2o ) ) )
429, 41mpan 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  om  ->  ( (/) 
e.  2o  ->  ( z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  2o ) ) )
4340, 42mpi 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  om  ->  (
z  +o  (/) )  e.  ( z  +o  2o ) )
4433, 43eqeltrrd 2131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  ( z  +o  2o ) )
453, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  ( z  +o  2o ) )
4645, 23eleqtrrd 2133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  ( z  +N  2o ) )
47 ltpiord 6475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( z  +N  2o )  e.  N. )  ->  ( z  <N  (
z  +N  2o )  <-> 
z  e.  ( z  +N  2o ) ) )
4826, 47mpdan 406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  <N  ( z  +N  2o )  <->  z  e.  ( z  +N  2o ) ) )
4946, 48mpbird 160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  z  <N  ( z  +N  2o ) )
50 mulidpi 6474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  .N  1o )  =  z )
51 mulcompig 6487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) )
524, 51mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) )
5326, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) )
54 mulidpi 6474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( z  +N  2o ) )
5526, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  (
( z  +N  2o )  .N  1o )  =  ( z  +N  2o ) )
5653, 55eqtr3d 2090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  ( 1o  .N  ( z  +N  2o ) )  =  ( z  +N  2o ) )
5749, 50, 563brtr4d 3822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  N.  ->  (
z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) )
58 ordpipqqs 6530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) ) )
594, 58mpanl2 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) ) )
604, 59mpanr2 422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( z  +N  2o )  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) ) )
6126, 60mpdan 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  N.  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  1o ) 
<N  ( 1o  .N  (
z  +N  2o ) ) ) )
6257, 61mpbird 160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
6362adantl 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
64 opelxpi 4404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. (
z  +N  2o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
654, 64mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  <. (
z  +N  2o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
66 enqex 6516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ~Q  e.  _V
6766ecelqsi 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
( z  +N  2o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
6826, 65, 673syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
69 df-nqqs 6504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
7068, 69syl6eleqr 2147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
71 opelxpi 4404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. z ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
724, 71mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  N.  ->  <. z ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
7366ecelqsi 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
z ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
7472, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
7574, 69syl6eleqr 2147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  N.  ->  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
76 ltmnqg 6557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\ 
[ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7775, 76syl3an1 1179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  C  e. 
Q. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7870, 77syl3an2 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  N.  /\  z  e.  N.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
79783anidm12 1203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
8079ancoms 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
8163, 80mpbid 139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( C  .Q  [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
82 mulcomnqg 6539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  [
<. z ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
8375, 82sylan2 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( C  .Q  [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
84 mulcomnqg 6539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
8570, 84sylan2 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( C  .Q  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
8681, 83, 853brtr3d 3821 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
87863ad2antl3 1079 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )
8887adantrr 456 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
89 ltsonq 6554 . . . . . . . . . 10  |-  <Q  Or  Q.
90 ltrelnq 6521 . . . . . . . . . 10  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
9189, 90sotri 4748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  /\  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )  ->  A  <Q  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
9291ex 112 . . . . . . . 8  |-  ( A 
<Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  ->  (
( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  ->  A  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
9392adantl 266 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )  -> 
( ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  ->  A  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
9493adantl 266 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  (
( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  ->  A  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
9588, 94mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  A  <Q  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
96 mulclnq 6532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q. )
9770, 96sylan 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q. )
9897ancoms 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  Q.  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q. )
99983ad2antl3 1079 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q. )
100 simpl2 919 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  B  e.  Q. )
101 ltaddnq 6563 . . . . . . 7  |-  ( ( ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  (
( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
10299, 100, 101syl2anc 397 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  <Q  (
( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
103102adantrr 456 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  <Q  ( ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
10489, 90sotri 4748 . . . . 5  |-  ( ( A  <Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  /\  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  <Q  ( ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )  ->  A  <Q  ( ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
10595, 103, 104syl2anc 397 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  A  <Q  ( ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
) )
106 addcomnqg 6537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
)  =  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )
10799, 100, 106syl2anc 397 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
)  =  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )
108107breq2d 3804 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( A  <Q  ( ( [ <. (
z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
)  <->  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
109108adantrr 456 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  ( A  <Q  ( ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C )  +Q  B
)  <->  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
110105, 109mpbid 139 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
111 simpr 107 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  z  e.  N. )
112 breq2 3796 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  ( z  +N  2o ) ) )
113 opeq1 3577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  <. x ,  1o >.  =  <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. )
114113eceq1d 6173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
115114oveq1d 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
)  =  ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )
116115oveq2d 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) )  =  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) )
117116breq2d 3804 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  ( A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) )  <->  A  <Q  ( B  +Q  ( [
<. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
118112, 117anbi12d 450 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z  +N  2o )  ->  (
( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  <-> 
( 1o  <N  (
z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) ) )
119118rspcev 2673 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  +N  2o )  e.  N.  /\  ( 1o  <N  ( z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) )
120119ex 112 . . . . 5  |-  ( ( z  +N  2o )  e.  N.  ->  (
( 1o  <N  (
z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) ) )
121111, 26, 1203syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  z  e.  N. )  ->  ( ( 1o 
<N  ( z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) ) )
122121adantrr 456 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  (
( 1o  <N  (
z  +N  2o )  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. ( z  +N  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C
) ) ) ) )
12332, 110, 122mp2and 417 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  /\  ( z  e.  N.  /\  A  <Q  ( [ <. z ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
1242, 123rexlimddv 2454 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  E. x  e.  N.  ( 1o  <N  x  /\  A  <Q  ( B  +Q  ( [ <. x ,  1o >. ]  ~Q  .Q  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   E.wrex 2324    C_ wss 2945   (/)c0 3252   <.cop 3406   class class class wbr 3792   Oncon0 4128   suc csuc 4130   omcom 4341    X. cxp 4371  (class class class)co 5540   1oc1o 6025   2oc2o 6026    +o coa 6029   [cec 6135   /.cqs 6136   N.cnpi 6428    +N cpli 6429    .N cmi 6430    <N clti 6431    ~Q ceq 6435   Q.cnq 6436    +Q cplq 6438    .Q cmq 6439    <Q cltq 6441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509
This theorem is referenced by:  prarloc  6659
  Copyright terms: Public domain W3C validator