ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlo Unicode version

Theorem prarloclemlo 6650
Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6659. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlo  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, L    y, P    y, U    y, X

Proof of Theorem prarloclemlo
Dummy variables  f  g  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnaass 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om  /\  h  e.  om )  ->  (
( f  +o  g
)  +o  h )  =  ( f  +o  ( g  +o  h
) ) )
21adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om  /\  h  e. 
om ) )  -> 
( ( f  +o  g )  +o  h
)  =  ( f  +o  ( g  +o  h ) ) )
3 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  y  e.  om )
4 1onn 6124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  om
5 nnacl 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
( y  +o  1o )  e.  om )
63, 4, 5sylancl 398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  om )
7 2onn 6125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  e.  om
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  2o  e.  om )
9 simpll 489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  X  e.  om )
102, 6, 8, 9caovassd 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
)  =  ( ( y  +o  1o )  +o  ( 2o  +o  X ) ) )
114a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  1o  e.  om )
12 nnacom 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om )  ->  ( f  +o  g
)  =  ( g  +o  f ) )
1312adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om ) )  -> 
( f  +o  g
)  =  ( g  +o  f ) )
14 nnacl 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om )  ->  ( f  +o  g
)  e.  om )
1514adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om ) )  -> 
( f  +o  g
)  e.  om )
163, 8, 11, 13, 2, 9, 15caov4d 5713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  2o )  +o  ( 1o  +o  X ) )  =  ( ( y  +o  1o )  +o  ( 2o  +o  X
) ) )
1713, 11, 9caovcomd 5685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  +o  X
)  =  ( X  +o  1o ) )
18 nnon 4360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  om  ->  X  e.  On )
19 oa1suc 6078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  On  ->  ( X  +o  1o )  =  suc  X )
209, 18, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( X  +o  1o )  =  suc  X )
2117, 20eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  +o  X
)  =  suc  X
)
2221oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  2o )  +o  ( 1o  +o  X ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) )
2310, 16, 223eqtr2rd 2095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  2o )  +o  suc  X )  =  ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) )
2423opeq1d 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  -> 
<. ( ( y  +o  2o )  +o  suc  X ) ,  1o >.  = 
<. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. )
2524eceq1d 6173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
2625oveq1d 5555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  =  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
2726oveq2d 5556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  =  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
2827eleq1d 2122 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U  <->  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
2928biimpd 136 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U  ->  ( A  +Q  ( [ <. (
( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )
30 simplr1 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  -> 
<. L ,  U >.  e. 
P. )
31 simplr2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  L )
32 elprnql 6637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  L )  ->  A  e.  Q. )
3330, 31, 32syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  Q. )
34 1pi 6471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  N.
35 nnppipi 6499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +o  1o )  e.  N. )
363, 34, 35sylancl 398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  N. )
37 opelxpi 4404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. (
y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
3834, 37mpan2 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  +o  1o )  e.  N.  ->  <. (
y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
39 enqex 6516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~Q  e.  _V
4039ecelqsi 6191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
41 df-nqqs 6504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
4240, 41syl6eleqr 2147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
4336, 38, 423syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
44 simplr3 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  P  e.  Q. )
45 mulclnq 6532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
4643, 44, 45syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
47 nqnq0a 6610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  =  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
4833, 46, 47syl2anc 397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  =  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
49 nqnq0m 6611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q ·Q0 
P ) )
5043, 44, 49syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q ·Q0 
P ) )
51 nqnq0pi 6594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
5236, 34, 51sylancl 398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
5352oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q ·Q0  P )
)
5450, 53eqtr4d 2091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)
5554oveq2d 5556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A +Q0  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  =  ( A +Q0  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) ) )
5648, 55eqtrd 2088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  =  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
) )
5756eleq1d 2122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  <->  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L ) )
5857anbi1d 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  <->  ( ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
59 opeq1 3577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  <. z ,  1o >.  =  <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. )
6059eceq1d 6173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  [ <. z ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0  )
6160oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )
6261oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  =  ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
) )
6362eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  <->  ( A +Q0  ( [
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L ) )
64 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
z  +o  2o )  =  ( ( y  +o  1o )  +o  2o ) )
6564oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
( z  +o  2o )  +o  X )  =  ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
) )
6665opeq1d 3583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  <. (
( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >.  =  <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. )
6766eceq1d 6173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
6867oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  =  ( [
<. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
6968oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  =  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
7069eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U  <->  ( A  +Q  ( [
<. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )
7163, 70anbi12d 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( y  +o  1o )  ->  (
( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  <->  ( ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
7271rspcev 2673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  om  /\  (
( A +Q0  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )  ->  E. z  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
7372ex 112 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  +o  1o )  e.  om  ->  (
( ( A +Q0  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  ->  E. z  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
746, 73syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  ->  E. z  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
7558, 74sylbid 143 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. z  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
76 opeq1 3577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  <. z ,  1o >.  =  <. y ,  1o >. )
7776eceq1d 6173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  [ <. z ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. y ,  1o >. ] ~Q0  )
7877oveq1d 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )  =  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )
7978oveq2d 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  =  ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
) )
8079eleq1d 2122 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  <->  ( A +Q0  ( [
<. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
P ) )  e.  L ) )
81 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
z  +o  2o )  =  ( y  +o  2o ) )
8281oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  +o  2o )  +o  X )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) )
8382opeq1d 3583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  <. (
( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >.  =  <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. )
8483eceq1d 6173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  =  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
8584oveq1d 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  =  ( [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
8685oveq2d 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  =  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
8786eleq1d 2122 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U  <->  ( A  +Q  ( [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )
8880, 87anbi12d 450 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  <->  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
8988cbvrexv 2551 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  om  (
( A +Q0  ( [ <. z ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( z  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  <->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
9075, 89syl6ib 154 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( ( y  +o  1o )  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
9129, 90sylan2d 282 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
9291expdimp 250 . . 3  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L )  ->  (
( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
9392adantld 267 . 2  |-  ( ( ( ( X  e. 
om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. )
)  /\  y  e.  om )  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  L )  ->  (
( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
9493ex 112 1  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  L  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   E.wrex 2324   <.cop 3406   Oncon0 4128   suc csuc 4130   omcom 4341    X. cxp 4371  (class class class)co 5540   1oc1o 6025   2oc2o 6026    +o coa 6029   [cec 6135   /.cqs 6136   N.cnpi 6428    ~Q ceq 6435   Q.cnq 6436    +Q cplq 6438    .Q cmq 6439   ~Q0 ceq0 6442   +Q0 cplq0 6445   ·Q0 cmq0 6446   P.cnp 6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6652
  Copyright terms: Public domain W3C validator