ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemup Unicode version

Theorem prarloclemup 6651
Description: Contracting the upper side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6659. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemup  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) ) )

Proof of Theorem prarloclemup
StepHypRef Expression
1 simpllr 494 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. ) )  /\  y  e.  om )  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  /\  (
( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )  -> 
y  e.  om )
2 simprl 491 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. ) )  /\  y  e.  om )  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  /\  (
( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )  -> 
( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L )
3 simplr 490 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. ) )  /\  y  e.  om )  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  /\  (
( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )  -> 
( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)
4 rspe 2387 . . 3  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
51, 2, 3, 4syl12anc 1144 . 2  |-  ( ( ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  L  /\  P  e.  Q. ) )  /\  y  e.  om )  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  /\  (
( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U ) )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
65exp31 350 1  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U  ->  ( ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o 
suc  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )  e.  U )  ->  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    /\ w3a 896    e. wcel 1409   E.wrex 2324   <.cop 3406   suc csuc 4130   omcom 4341  (class class class)co 5540   1oc1o 6025   2oc2o 6026    +o coa 6029   [cec 6135    ~Q ceq 6435   Q.cnq 6436    +Q cplq 6438    .Q cmq 6439   ~Q0 ceq0 6442   +Q0 cplq0 6445   ·Q0 cmq0 6446   P.cnp 6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-4 1416
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-rex 2329
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6652
  Copyright terms: Public domain W3C validator