Theorem prfidisj 6815

Description: A pair is finite if it consists of two unequal sets. For the case where A = B, see snfig 6708. For the cases where one or both is a proper class, see prprc1 3631, prprc2 3632, or prprc 3633. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
prfidisj	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )

Proof of Theorem prfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3534	. 2 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
2		snfig 6708	. . 3 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )
3		snfig 6708	. . 3 |- ( B e. W -> { B } e. Fin )
4		disjsn2 3586	. . 3 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
5		unfidisj 6810	. . 3 |- ( ( { A } e. Fin /\ { B } e. Fin /\ ( { A } i^i { B } ) = (/) ) -> ( { A } u. { B } ) e. Fin )
6	2, 3, 4, 5	syl3an 1258	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( { A } u. { B } ) e. Fin )
7	1, 6	eqeltrid 2226	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   u. cun 3069   i^i cin 3070   (/)c0 3363   {csn 3527   {cpr 3528   Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  tpfidisj  6816  fiprsshashgt1  10563  sumpr  11182