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Theorem prloc 6647
Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prloc  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) )

Proof of Theorem prloc
Dummy variables  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinp 6630 . . . 4  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) )
2 simpr3 923 . . . 4  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U )
)  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  r  e.  L ) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  A. r  e. 
Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
31, 2sylbi 118 . . 3  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  ->  (
q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
43adantr 265 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  A. q  e.  Q.  A. r  e. 
Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
5 simpr 107 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  A  <Q  B )
6 ltrelnq 6521 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
76brel 4420 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
87simpld 109 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  B  ->  A  e. 
Q. )
98adantl 266 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  A  e.  Q. )
10 simpr 107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  q  =  A )
1110breq1d 3802 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  (
q  <Q  r  <->  A  <Q  r ) )
1210eleq1d 2122 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  (
q  e.  L  <->  A  e.  L ) )
1312orbi1d 715 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  (
( q  e.  L  \/  r  e.  U
)  <->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
1411, 13imbi12d 227 . . . . 5  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  (
( q  <Q  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  ( A  <Q  r  ->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )
1514ralbidv 2343 . . . 4  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  ( A. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  A. r  e.  Q.  ( A  <Q  r  ->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )
169, 15rspcdv 2676 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) )  ->  A. r  e.  Q.  ( A  <Q  r  -> 
( A  e.  L  \/  r  e.  U
) ) ) )
177simprd 111 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
1817adantl 266 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  B  e.  Q. )
19 simpr 107 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  r  =  B )
2019breq2d 3804 . . . . 5  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  ( A  <Q  r  <->  A  <Q  B ) )
2119eleq1d 2122 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  (
r  e.  U  <->  B  e.  U ) )
2221orbi2d 714 . . . . 5  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  (
( A  e.  L  \/  r  e.  U
)  <->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) ) )
2320, 22imbi12d 227 . . . 4  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  (
( A  <Q  r  ->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  ( A  <Q  B  ->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) ) ) )
2418, 23rspcdv 2676 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A. r  e.  Q.  ( A  <Q  r  ->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U )
)  ->  ( A  <Q  B  ->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) ) ) )
2516, 24syld 44 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) )  -> 
( A  <Q  B  -> 
( A  e.  L  \/  B  e.  U
) ) ) )
264, 5, 25mp2d 45 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324    C_ wss 2945   <.cop 3406   class class class wbr 3792   Q.cnq 6436    <Q cltq 6441   P.cnp 6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-qs 6143  df-ni 6460  df-nqqs 6504  df-ltnqqs 6509  df-inp 6622
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6652  addnqprlemfl  6715  addnqprlemfu  6716  mullocprlem  6726  mulnqprlemfl  6731  mulnqprlemfu  6732  ltsopr  6752  ltexprlemloc  6763  addcanprleml  6770  addcanprlemu  6771  recexprlemloc  6787  cauappcvgprlemladdru  6812  cauappcvgprlemladdrl  6813  caucvgprlemladdrl  6834
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