Theorem prltlu 6739

Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prltlu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> B <Q C )

Proof of Theorem prltlu

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 941	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> C e. U )
2		elprnqu 6734	. . . . . 6 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> C e. Q. )
3	2	3adant2 958	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> C e. Q. )
4		elinp 6726	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
5		simpr2 946	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
6	4, 5	sylbi 119	. . . . . 6 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
7	6	3ad2ant1 960	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
8		eleq1 2142	. . . . . . . 8 |- ( q = C -> ( q e. L <-> C e. L ) )
9		eleq1 2142	. . . . . . . 8 |- ( q = C -> ( q e. U <-> C e. U ) )
10	8, 9	anbi12d 457	. . . . . . 7 |- ( q = C -> ( ( q e. L /\ q e. U ) <-> ( C e. L /\ C e. U ) ) )
11	10	notbid 625	. . . . . 6 |- ( q = C -> ( -. ( q e. L /\ q e. U ) <-> -. ( C e. L /\ C e. U ) ) )
12	11	rspcv 2698	. . . . 5 |- ( C e. Q. -> ( A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) -> -. ( C e. L /\ C e. U ) ) )
13	3, 7, 12	sylc 61	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> -. ( C e. L /\ C e. U ) )
14		ancom 262	. . . . . 6 |- ( ( C e. L /\ C e. U ) <-> ( C e. U /\ C e. L ) )
15	14	notbii 627	. . . . 5 |- ( -. ( C e. L /\ C e. U ) <-> -. ( C e. U /\ C e. L ) )
16		imnan 657	. . . . 5 |- ( ( C e. U -> -. C e. L ) <-> -. ( C e. U /\ C e. L ) )
17	15, 16	bitr4i 185	. . . 4 |- ( -. ( C e. L /\ C e. U ) <-> ( C e. U -> -. C e. L ) )
18	13, 17	sylib 120	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( C e. U -> -. C e. L ) )
19	1, 18	mpd 13	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> -. C e. L )
20		3simpa 936	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) )
21		prubl 6738	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )
22	20, 3, 21	syl2anc 403	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )
23	19, 22	mpd 13	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> B <Q C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662   /\ w3a 920   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   C_ wss 2974   <.cop 3409   class class class wbr 3793   Q.cnq 6532   <Q cltq 6537   P.cnp 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-mi 6558  df-lti 6559  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-ltnqqs 6605  df-inp 6718

This theorem is referenced by:  genpdisj  6775  prmuloc  6818  ltprordil  6841  ltpopr  6847  ltexprlemopu  6855  ltexprlemdisj  6858  ltexprlemfl  6861  ltexprlemfu  6863  ltexprlemru  6864  recexprlemdisj  6882  recexprlemss1l  6887  recexprlemss1u  6888