Theorem prltlu 7288

Description: An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prltlu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> B <Q C )

Proof of Theorem prltlu

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 983	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> C e. U )
2		eleq1 2200	. . . . . . 7 |- ( q = C -> ( q e. L <-> C e. L ) )
3		eleq1 2200	. . . . . . 7 |- ( q = C -> ( q e. U <-> C e. U ) )
4	2, 3	anbi12d 464	. . . . . 6 |- ( q = C -> ( ( q e. L /\ q e. U ) <-> ( C e. L /\ C e. U ) ) )
5	4	notbid 656	. . . . 5 |- ( q = C -> ( -. ( q e. L /\ q e. U ) <-> -. ( C e. L /\ C e. U ) ) )
6		elinp 7275	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
7		simpr2 988	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
8	6, 7	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
9	8	3ad2ant1 1002	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
10		elprnqu 7283	. . . . . 6 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> C e. Q. )
11	10	3adant2 1000	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> C e. Q. )
12	5, 9, 11	rspcdva 2789	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> -. ( C e. L /\ C e. U ) )
13		ancom 264	. . . . . 6 |- ( ( C e. L /\ C e. U ) <-> ( C e. U /\ C e. L ) )
14	13	notbii 657	. . . . 5 |- ( -. ( C e. L /\ C e. U ) <-> -. ( C e. U /\ C e. L ) )
15		imnan 679	. . . . 5 |- ( ( C e. U -> -. C e. L ) <-> -. ( C e. U /\ C e. L ) )
16	14, 15	bitr4i 186	. . . 4 |- ( -. ( C e. L /\ C e. U ) <-> ( C e. U -> -. C e. L ) )
17	12, 16	sylib 121	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( C e. U -> -. C e. L ) )
18	1, 17	mpd 13	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> -. C e. L )
19		3simpa 978	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) )
20		prubl 7287	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C e. Q. ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )
21	19, 11, 20	syl2anc 408	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> ( -. C e. L -> B <Q C ) )
22	18, 21	mpd 13	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L /\ C e. U ) -> B <Q C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   C_ wss 3066   <.cop 3525   class class class wbr 3924   Q.cnq 7081   <Q cltq 7086   P.cnp 7092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-mi 7107  df-lti 7108  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-ltnqqs 7154  df-inp 7267

This theorem is referenced by:  genpdisj  7324  prmuloc  7367  ltprordil  7390  ltpopr  7396  ltexprlemopu  7404  ltexprlemdisj  7407  ltexprlemfl  7410  ltexprlemfu  7412  ltexprlemru  7413  recexprlemdisj  7431  recexprlemss1l  7436  recexprlemss1u  7437