ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmdvdsfz Unicode version

Theorem prmdvdsfz 10745
Description: Each integer greater than 1 and less then or equal to a fixed number is divisible by a prime less then or equal to this fixed number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfz  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( p  <_  N  /\  p  ||  I ) )
Distinct variable groups:    I, p    N, p

Proof of Theorem prmdvdsfz
StepHypRef Expression
1 elfzuz 9187 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  I  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
21adantl 271 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  ->  I  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
3 exprmfct 10744 . . 3  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  I
)
42, 3syl 14 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  ->  E. p  e.  Prime  p 
||  I )
5 prmz 10718 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
6 eluz2nn 8808 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  I  e.  NN )
71, 6syl 14 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  I  e.  NN )
87adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  ->  I  e.  NN )
9 dvdsle 10470 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  I  e.  NN )  ->  ( p  ||  I  ->  p  <_  I )
)
105, 8, 9syl2anr 284 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  I  ->  p  <_  I
) )
11 elfzle2 9193 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  I  <_  N )
1211ad2antlr 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  I  <_  N
)
135zred 8620 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
1413adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  RR )
15 elfzelz 9191 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  I  e.  ZZ )
1615zred 8620 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  I  e.  RR )
1716ad2antlr 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  I  e.  RR )
18 nnre 8183 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1918ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
20 letr 7331 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( p  <_  I  /\  I  <_  N )  ->  p  <_  N
) )
2114, 17, 19, 20syl3anc 1170 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p  <_  I  /\  I  <_  N )  ->  p  <_  N ) )
2212, 21mpan2d 419 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  <_  I  ->  p  <_  N
) )
2310, 22syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  I  ->  p  <_  N
) )
2423ancrd 319 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  I  ->  ( p  <_  N  /\  p  ||  I
) ) )
2524reximdva 2468 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  ->  ( E. p  e.  Prime  p  ||  I  ->  E. p  e.  Prime  ( p  <_  N  /\  p  ||  I ) ) )
264, 25mpd 13 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( p  <_  N  /\  p  ||  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   E.wrex 2354   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5564   RRcr 7112    <_ cle 7286   NNcn 8176   2c2 8226   ZZcz 8502   ZZ>=cuz 8770   ...cfz 9175    || cdvds 10421   Primecprime 10714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226  ax-arch 7227  ax-caucvg 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-1o 6086  df-2o 6087  df-er 6194  df-en 6310  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-3 8236  df-4 8237  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-q 8856  df-rp 8886  df-fz 9176  df-fzo 9300  df-fl 9422  df-mod 9475  df-iseq 9592  df-iexp 9643  df-cj 9948  df-re 9949  df-im 9950  df-rsqrt 10103  df-abs 10104  df-dvds 10422  df-prm 10715
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator