ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prml Unicode version

Theorem prml 7253
Description: A positive real's lower cut is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prml  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  E. x  e.  Q.  x  e.  L )
Distinct variable groups:    x, L    x, U

Proof of Theorem prml
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinp 7250 . 2  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. x  e.  Q.  x  e.  L  /\  E. y  e.  Q.  y  e.  U ) )  /\  ( ( A. x  e.  Q.  ( x  e.  L  <->  E. y  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  y  e.  L )
)  /\  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )
) )  /\  A. x  e.  Q.  -.  (
x  e.  L  /\  x  e.  U )  /\  A. x  e.  Q.  A. y  e.  Q.  (
x  <Q  y  ->  (
x  e.  L  \/  y  e.  U )
) ) ) )
2 simplrl 509 . 2  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. x  e.  Q.  x  e.  L  /\  E. y  e.  Q.  y  e.  U )
)  /\  ( ( A. x  e.  Q.  ( x  e.  L  <->  E. y  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  y  e.  L ) )  /\  A. y  e.  Q.  (
y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U
) ) )  /\  A. x  e.  Q.  -.  ( x  e.  L  /\  x  e.  U
)  /\  A. x  e.  Q.  A. y  e. 
Q.  ( x  <Q  y  ->  ( x  e.  L  \/  y  e.  U ) ) ) )  ->  E. x  e.  Q.  x  e.  L
)
31, 2sylbi 120 1  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  E. x  e.  Q.  x  e.  L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    /\ w3a 947    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394    C_ wss 3041   <.cop 3500   class class class wbr 3899   Q.cnq 7056    <Q cltq 7061   P.cnp 7067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-qs 6403  df-ni 7080  df-nqqs 7124  df-inp 7242
This theorem is referenced by:  0npr  7259  prarloc  7279  genpml  7293  prmuloc  7342  ltaddpr  7373  ltexprlemm  7376  ltexprlemloc  7383  recexprlemm  7400  archrecpr  7440  caucvgprprlemml  7470  suplocexprlemml  7492
  Copyright terms: Public domain W3C validator