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Theorem prmuloc 6722
Description: Positive reals are multiplicatively located. Lemma 12.8 of [BauerTaylor], p. 56. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prmuloc  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e. 
Q.  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A )  <Q 
( d  .Q  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, d, u    B, d, u    L, d, u    U, d, u

Proof of Theorem prmuloc
Dummy variables  p  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqi 6565 . . 3  |-  ( A 
<Q  B  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B )
21adantl 266 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B )
3 prml 6633 . . . 4  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  L )
43ad2antrr 465 . . 3  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  L
)
5 simprl 491 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  -> 
r  e.  Q. )
6 simplrl 495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  x  e.  Q. )
7 mulclnq 6532 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( r  .Q  x
)  e.  Q. )
85, 6, 7syl2anc 397 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  -> 
( r  .Q  x
)  e.  Q. )
9 ltrelnq 6521 . . . . . . . 8  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
109brel 4420 . . . . . . 7  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
1110simprd 111 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
1211ad3antlr 470 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  B  e.  Q. )
13 appdiv0nq 6720 . . . . 5  |-  ( ( ( r  .Q  x
)  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  E. p  e.  Q.  ( p  .Q  B
)  <Q  ( r  .Q  x ) )
148, 12, 13syl2anc 397 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  E. p  e.  Q.  ( p  .Q  B
)  <Q  ( r  .Q  x ) )
15 prarloc 6659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  p  e.  Q. )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
1615adantlr 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  p  e.  Q. )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
1716adantlr 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  p  e. 
Q. )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
1817ad2ant2r 486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
19 r2ex 2361 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  L  E. u  e.  U  u  <Q  ( d  +Q  p
)  <->  E. d E. u
( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )
2018, 19sylib 131 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U
)  /\  u  <Q  ( d  +Q  p ) ) )
21 elprnql 6637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2221adantlr 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2322adantlr 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2423adantlr 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  d  e.  L )  ->  d  e.  Q. )
2524ad2ant2r 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U
) )  ->  d  e.  Q. )
2625adantrr 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
d  e.  Q. )
27 simplll 493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  <. L ,  U >.  e. 
P. )
2827ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  <. L ,  U >.  e. 
P. )
29 simprl 491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( d  e.  L  /\  u  e.  U
) )
3029simprd 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  u  e.  U )
31 elprnqu 6638 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  u  e.  U )  ->  u  e.  Q. )
3228, 30, 31syl2anc 397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  u  e.  Q. )
33 prltlu 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  r  e.  L  /\  u  e.  U
)  ->  r  <Q  u )
34333adant1r 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  e.  L  /\  u  e.  U )  ->  r  <Q  u )
35343adant2l 1140 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
r  e.  Q.  /\  r  e.  L )  /\  u  e.  U
)  ->  r  <Q  u )
36353adant3l 1142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
r  e.  Q.  /\  r  e.  L )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U
) )  ->  r  <Q  u )
37363adant1r 1139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U )
)  ->  r  <Q  u )
38373expa 1115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U ) )  -> 
r  <Q  u )
3938ad2ant2r 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
r  <Q  u )
40 simprr 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  u  <Q  ( d  +Q  p ) )
41 simplrr 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  -> 
( A  +Q  x
)  =  B )
4241ad2antrr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( A  +Q  x
)  =  B )
43 simplrr 496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( p  .Q  B
)  <Q  ( r  .Q  x ) )
4410simpld 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
<Q  B  ->  A  e. 
Q. )
4544ad3antlr 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  A  e.  Q. )
4645ad2antrr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  A  e.  Q. )
4712ad2antrr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  B  e.  Q. )
48 simplrl 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  p  e.  Q. )
496ad2antrr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  ->  x  e.  Q. )
5039, 40, 42, 43, 46, 47, 26, 48, 49prmuloclemcalc 6721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) )
51 df-3an 898 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) )  <->  ( (
d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
5229, 50, 51sylanbrc 402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
5326, 32, 52jca31 296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  /\  ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) ) )  -> 
( ( d  e. 
Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) )
5453ex 112 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  -> 
( ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) )  ->  (
( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) ) )
55542eximdv 1778 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  -> 
( E. d E. u ( ( d  e.  L  /\  u  e.  U )  /\  u  <Q  ( d  +Q  p
) )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) ) )
5620, 55mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) )
57 r2ex 2361 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) )  <->  E. d E. u ( ( d  e.  Q.  /\  u  e.  Q. )  /\  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) ) )
5856, 57sylibr 141 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x )  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  /\  ( p  e.  Q.  /\  (
p  .Q  B ) 
<Q  ( r  .Q  x
) ) )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
5914, 58rexlimddv 2454 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  /\  ( r  e.  Q.  /\  r  e.  L ) )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e.  Q.  (
d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A
)  <Q  ( d  .Q  B ) ) )
604, 59rexlimddv 2454 . 2  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( A  +Q  x
)  =  B ) )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e. 
Q.  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A )  <Q 
( d  .Q  B
) ) )
612, 60rexlimddv 2454 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  E. d  e.  Q.  E. u  e. 
Q.  ( d  e.  L  /\  u  e.  U  /\  ( u  .Q  A )  <Q 
( d  .Q  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    /\ w3a 896    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   E.wrex 2324   <.cop 3406   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   Q.cnq 6436    +Q cplq 6438    .Q cmq 6439    <Q cltq 6441   P.cnp 6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622
This theorem is referenced by:  prmuloc2  6723  mullocpr  6727
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