Theorem prnmaxl 6729

Description: A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnmaxl	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. L B <Q x )

Distinct variable groups:   x, B   x, L   x, U

Proof of Theorem prnmaxl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnql 6722	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )
2		elinp 6715	. . . . . . . 8 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. y e. Q. y e. L /\ E. x e. Q. x e. U ) ) /\ ( ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) /\ A. x e. Q. ( x e. U <-> E. y e. Q. ( y <Q x /\ y e. U ) ) ) /\ A. y e. Q. -. ( y e. L /\ y e. U ) /\ A. y e. Q. A. x e. Q. ( y <Q x -> ( y e. L \/ x e. U ) ) ) ) )
3		simpr1l 996	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. y e. Q. y e. L /\ E. x e. Q. x e. U ) ) /\ ( ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) /\ A. x e. Q. ( x e. U <-> E. y e. Q. ( y <Q x /\ y e. U ) ) ) /\ A. y e. Q. -. ( y e. L /\ y e. U ) /\ A. y e. Q. A. x e. Q. ( y <Q x -> ( y e. L \/ x e. U ) ) ) ) -> A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) )
4	2, 3	sylbi 119	. . . . . . 7 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) )
5		eleq1 2142	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y e. L <-> B e. L ) )
6		breq1 3790	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = B -> ( y <Q x <-> B <Q x ) )
7	6	anbi1d 453	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( ( y <Q x /\ x e. L ) <-> ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
8	7	rexbidv 2370	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
9	5, 8	bibi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> ( ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) <-> ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
10	9	rspcv 2698	. . . . . . 7 |- ( B e. Q. -> ( A. y e. Q. ( y e. L <-> E. x e. Q. ( y <Q x /\ x e. L ) ) -> ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
11		bi1 116	. . . . . . 7 |- ( ( B e. L <-> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) -> ( B e. L -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
12	4, 10, 11	syl56 34	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> ( <. L , U >. e. P. -> ( B e. L -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) ) )
13	12	impd 251	. . . . 5 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
14	1, 13	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) )
15		df-rex 2355	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( B <Q x /\ x e. L ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
16	14, 15	sylib 120	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
17		ltrelnq 6606	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
18	17	brel 4412	. . . . . . . 8 |- ( B <Q x -> ( B e. Q. /\ x e. Q. ) )
19	18	simprd 112	. . . . . . 7 |- ( B <Q x -> x e. Q. )
20	19	pm4.71ri 384	. . . . . 6 |- ( B <Q x <-> ( x e. Q. /\ B <Q x ) )
21	20	anbi1i 446	. . . . 5 |- ( ( B <Q x /\ x e. L ) <-> ( ( x e. Q. /\ B <Q x ) /\ x e. L ) )
22		ancom 262	. . . . 5 |- ( ( B <Q x /\ x e. L ) <-> ( x e. L /\ B <Q x ) )
23		anass 393	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Q. /\ B <Q x ) /\ x e. L ) <-> ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr3i 208	. . . 4 |- ( ( x e. L /\ B <Q x ) <-> ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
25	24	exbii 1537	. . 3 |- ( E. x ( x e. L /\ B <Q x ) <-> E. x ( x e. Q. /\ ( B <Q x /\ x e. L ) ) )
26	16, 25	sylibr 132	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x ( x e. L /\ B <Q x ) )
27		df-rex 2355	. 2 |- ( E. x e. L B <Q x <-> E. x ( x e. L /\ B <Q x ) )
28	26, 27	sylibr 132	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> E. x e. L B <Q x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662   /\ w3a 920   = wceq 1285   E.wex 1422   e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   C_ wss 2974   <.cop 3403   class class class wbr 3787   Q.cnq 6521   <Q cltq 6526   P.cnp 6532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-iinf 4331

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-qs 6171  df-ni 6545  df-nqqs 6589  df-ltnqqs 6594  df-inp 6707

This theorem is referenced by:  prnmaddl  6731  genprndl  6762  nqprl  6792  1idprl  6831  ltsopr  6837  ltexprlemm  6841  ltexprlemopl  6842  recexprlemloc  6872  recexprlem1ssl  6874  aptiprleml  6880  caucvgprprlemopl  6938