ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prnminu Unicode version

Theorem prnminu 6645
Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnminu  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  U  x  <Q  B )
Distinct variable groups:    x, B    x, L    x, U

Proof of Theorem prnminu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnqu 6638 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  B  e.  Q. )
2 elinp 6630 . . . . . . . 8  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. x  e.  Q.  x  e.  L  /\  E. y  e.  Q.  y  e.  U ) )  /\  ( ( A. x  e.  Q.  ( x  e.  L  <->  E. y  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  y  e.  L )
)  /\  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )
) )  /\  A. x  e.  Q.  -.  (
x  e.  L  /\  x  e.  U )  /\  A. x  e.  Q.  A. y  e.  Q.  (
x  <Q  y  ->  (
x  e.  L  \/  y  e.  U )
) ) ) )
3 simpr1r 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. x  e.  Q.  x  e.  L  /\  E. y  e.  Q.  y  e.  U )
)  /\  ( ( A. x  e.  Q.  ( x  e.  L  <->  E. y  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  y  e.  L ) )  /\  A. y  e.  Q.  (
y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U
) ) )  /\  A. x  e.  Q.  -.  ( x  e.  L  /\  x  e.  U
)  /\  A. x  e.  Q.  A. y  e. 
Q.  ( x  <Q  y  ->  ( x  e.  L  \/  y  e.  U ) ) ) )  ->  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )
) )
42, 3sylbi 118 . . . . . . 7  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  x  e.  U ) ) )
5 eleq1 2116 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  U  <->  B  e.  U ) )
6 breq2 3796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
x  <Q  y  <->  x  <Q  B ) )
76anbi1d 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( x  <Q  y  /\  x  e.  U
)  <->  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) ) )
87rexbidv 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  Q.  ( x  <Q  y  /\  x  e.  U )  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
95, 8bibi12d 228 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  x  e.  U ) )  <->  ( B  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )
) ) )
109rspcv 2669 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( A. y  e.  Q.  ( y  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  y  /\  x  e.  U ) )  -> 
( B  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) ) )
11 bi1 115 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  U  <->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) )  ->  ( B  e.  U  ->  E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
124, 10, 11syl56 34 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Q.  ->  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  ( B  e.  U  ->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) ) ) )
1312impd 246 . . . . 5  |-  ( B  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) ) )
141, 13mpcom 36 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  Q.  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U
) )
15 df-rex 2329 . . . 4  |-  ( E. x  e.  Q.  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U )  <->  E. x
( x  e.  Q.  /\  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )
) )
1614, 15sylib 131 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x
( x  e.  Q.  /\  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )
) )
17 ltrelnq 6521 . . . . . . . . 9  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1817brel 4420 . . . . . . . 8  |-  ( x 
<Q  B  ->  ( x  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
1918simpld 109 . . . . . . 7  |-  ( x 
<Q  B  ->  x  e. 
Q. )
2019pm4.71ri 378 . . . . . 6  |-  ( x 
<Q  B  <->  ( x  e. 
Q.  /\  x  <Q  B ) )
2120anbi1i 439 . . . . 5  |-  ( ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )  <->  ( ( x  e.  Q.  /\  x  <Q  B )  /\  x  e.  U
) )
22 ancom 257 . . . . 5  |-  ( ( x  <Q  B  /\  x  e.  U )  <->  ( x  e.  U  /\  x  <Q  B ) )
23 anass 387 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  x  <Q  B )  /\  x  e.  U
)  <->  ( x  e. 
Q.  /\  ( x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
2421, 22, 233bitr3i 203 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U  /\  x  <Q  B )  <->  ( x  e.  Q.  /\  ( x 
<Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
2524exbii 1512 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  U  /\  x  <Q  B )  <->  E. x ( x  e.  Q.  /\  (
x  <Q  B  /\  x  e.  U ) ) )
2616, 25sylibr 141 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x
( x  e.  U  /\  x  <Q  B ) )
27 df-rex 2329 . 2  |-  ( E. x  e.  U  x 
<Q  B  <->  E. x ( x  e.  U  /\  x  <Q  B ) )
2826, 27sylibr 141 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  U )  ->  E. x  e.  U  x  <Q  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    /\ w3a 896    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324    C_ wss 2945   <.cop 3406   class class class wbr 3792   Q.cnq 6436    <Q cltq 6441   P.cnp 6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-qs 6143  df-ni 6460  df-nqqs 6504  df-ltnqqs 6509  df-inp 6622
This theorem is referenced by:  genprndu  6678  nqpru  6708  1idpru  6747  ltsopr  6752  ltexprlemopu  6759  ltexprlemru  6768  addcanprlemu  6771  recexprlemloc  6787  recexprlem1ssu  6790  aptiprlemu  6796
  Copyright terms: Public domain W3C validator