Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodgt0 Unicode version

Theorem prodgt0 7893
 Description: Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
prodgt0

Proof of Theorem prodgt0
StepHypRef Expression
1 simpllr 494 . . . . . . 7
21renegcld 7450 . . . . . 6
3 simplll 493 . . . . . . 7
43renegcld 7450 . . . . . 6
5 simplr 490 . . . . . . . 8
65lt0neg1d 7581 . . . . . . 7
76biimpa 284 . . . . . 6
8 simprr 492 . . . . . . . . 9
9 simpll 489 . . . . . . . . . . 11
109recnd 7113 . . . . . . . . . 10
115recnd 7113 . . . . . . . . . 10
1210, 11mul2negd 7482 . . . . . . . . 9
138, 12breqtrrd 3818 . . . . . . . 8
1410negcld 7372 . . . . . . . . 9
1511negcld 7372 . . . . . . . . 9
1614, 15mulcomd 7106 . . . . . . . 8
1713, 16breqtrd 3816 . . . . . . 7
1817adantr 265 . . . . . 6
19 prodgt0gt0 7892 . . . . . 6
202, 4, 7, 18, 19syl22anc 1147 . . . . 5
213lt0neg1d 7581 . . . . 5
2220, 21mpbird 160 . . . 4
23 simplrl 495 . . . . 5
24 0red 7086 . . . . . 6
2524, 3lenltd 7193 . . . . 5
2623, 25mpbid 139 . . . 4
2722, 26pm2.65da 597 . . 3
28 0red 7086 . . . 4
2928, 5lenltd 7193 . . 3
3027, 29mpbird 160 . 2
319, 5remulcld 7115 . . . . 5
3231, 8gt0ap0d 7693 . . . 4 #
3310, 11, 32mulap0bbd 7715 . . 3 #
34 0cnd 7078 . . . 4
35 apsym 7671 . . . 4 # #
3611, 34, 35syl2anc 397 . . 3 # #
3733, 36mpbid 139 . 2 #
38 ltleap 7695 . . 3 #
3928, 5, 38syl2anc 397 . 2 #
4030, 37, 39mpbir2and 862 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 101   wb 102   wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  cc 6945  cr 6946  cc0 6947   cmul 6952   clt 7119   cle 7120  cneg 7246   # cap 7646 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726 This theorem is referenced by:  prodgt02  7894  prodgt0i  7949  evennn2n  10195
 Copyright terms: Public domain W3C validator