Theorem prop 7283

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	|- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7279	. . . 4 |- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )
2	1	sseli 3093	. . 3 |- ( A e. P. -> A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) )
3		1st2nd2 6073	. . 3 |- ( A e. ( ~P Q. X. ~P Q. ) -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A e. P. -> A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. )
5		eleq1 2202	. . 3 |- ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> ( A e. P. <-> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
6	5	biimpcd 158	. 2 |- ( A e. P. -> ( A = <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. ) )
7	4, 6	mpd 13	1 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   ~Pcpw 3510   <.cop 3530   X. cxp 4537   ` cfv 5123   1stc1st 6036   2ndc2nd 6037   Q.cnq 7088   P.cnp 7099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-inp 7274

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7284  0npr  7291  genpdf  7316  genipv  7317  genpelvl  7320  genpelvu  7321  genpml  7325  genpmu  7326  genprndl  7329  genprndu  7330  genpdisj  7331  genpassl  7332  genpassu  7333  addnqprl  7337  addnqpru  7338  addlocprlemeqgt  7340  addlocprlemgt  7342  addlocprlem  7343  addlocpr  7344  nqprl  7359  nqpru  7360  addnqprlemfl  7367  addnqprlemfu  7368  mulnqprl  7376  mulnqpru  7377  mullocprlem  7378  mullocpr  7379  mulnqprlemfl  7383  mulnqprlemfu  7384  addcomprg  7386  mulcomprg  7388  distrlem1prl  7390  distrlem1pru  7391  distrlem4prl  7392  distrlem4pru  7393  ltprordil  7397  1idprl  7398  1idpru  7399  ltpopr  7403  ltsopr  7404  ltaddpr  7405  ltexprlemm  7408  ltexprlemopl  7409  ltexprlemlol  7410  ltexprlemopu  7411  ltexprlemupu  7412  ltexprlemdisj  7414  ltexprlemloc  7415  ltexprlemfl  7417  ltexprlemrl  7418  ltexprlemfu  7419  ltexprlemru  7420  addcanprleml  7422  addcanprlemu  7423  prplnqu  7428  recexprlemm  7432  recexprlemdisj  7438  recexprlemloc  7439  recexprlem1ssl  7441  recexprlem1ssu  7442  recexprlemss1l  7443  recexprlemss1u  7444  aptiprleml  7447  aptiprlemu  7448  archpr  7451  cauappcvgprlemladdru  7464  cauappcvgprlemladdrl  7465  archrecpr  7472  caucvgprlemladdrl  7486  caucvgprprlemml  7502  caucvgprprlemmu  7503  caucvgprprlemopl  7505  suplocexprlemml  7524  suplocexprlemrl  7525  suplocexprlemmu  7526  suplocexprlemdisj  7528  suplocexprlemloc  7529  suplocexprlemex  7530  suplocexprlemub  7531