ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prop Unicode version

Theorem prop 6630
Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prop  |-  ( A  e.  P.  ->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A
) >.  e.  P. )

Proof of Theorem prop
StepHypRef Expression
1 npsspw 6626 . . . 4  |-  P.  C_  ( ~P Q.  X.  ~P Q. )
21sseli 2968 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  A  e.  ( ~P Q.  X.  ~P Q. ) )
3 1st2nd2 5828 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P Q.  X.  ~P Q. )  ->  A  =  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A )
>. )
42, 3syl 14 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )
5 eleq1 2116 . . 3  |-  ( A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  ->  ( A  e.  P.  <->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A )
>.  e.  P. ) )
65biimpcd 152 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  =  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A )
>.  ->  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P. ) )
74, 6mpd 13 1  |-  ( A  e.  P.  ->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A
) >.  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1259    e. wcel 1409   ~Pcpw 3386   <.cop 3405    X. cxp 4370   ` cfv 4929   1stc1st 5792   2ndc2nd 5793   Q.cnq 6435   P.cnp 6446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2787  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-inp 6621
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6631  0npr  6638  genpdf  6663  genipv  6664  genpelvl  6667  genpelvu  6668  genpml  6672  genpmu  6673  genprndl  6676  genprndu  6677  genpdisj  6678  genpassl  6679  genpassu  6680  addnqprl  6684  addnqpru  6685  addlocprlemeqgt  6687  addlocprlemgt  6689  addlocprlem  6690  addlocpr  6691  nqprl  6706  nqpru  6707  addnqprlemfl  6714  addnqprlemfu  6715  mulnqprl  6723  mulnqpru  6724  mullocprlem  6725  mullocpr  6726  mulnqprlemfl  6730  mulnqprlemfu  6731  addcomprg  6733  mulcomprg  6735  distrlem1prl  6737  distrlem1pru  6738  distrlem4prl  6739  distrlem4pru  6740  ltprordil  6744  1idprl  6745  1idpru  6746  ltpopr  6750  ltsopr  6751  ltaddpr  6752  ltexprlemm  6755  ltexprlemopl  6756  ltexprlemlol  6757  ltexprlemopu  6758  ltexprlemupu  6759  ltexprlemdisj  6761  ltexprlemloc  6762  ltexprlemfl  6764  ltexprlemrl  6765  ltexprlemfu  6766  ltexprlemru  6767  addcanprleml  6769  addcanprlemu  6770  prplnqu  6775  recexprlemm  6779  recexprlemdisj  6785  recexprlemloc  6786  recexprlem1ssl  6788  recexprlem1ssu  6789  recexprlemss1l  6790  recexprlemss1u  6791  aptiprleml  6794  aptiprlemu  6795  archpr  6798  cauappcvgprlemladdru  6811  cauappcvgprlemladdrl  6812  archrecpr  6819  caucvgprlemladdrl  6833  caucvgprprlemml  6849  caucvgprprlemmu  6850  caucvgprprlemopl  6852
  Copyright terms: Public domain W3C validator