ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prprc1 Unicode version

Theorem prprc1 3601
Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
prprc1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A ,  B }  =  { B } )

Proof of Theorem prprc1
StepHypRef Expression
1 snprc 3558 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
2 uneq1 3193 . . 3  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( { A }  u.  { B } )  =  ( (/)  u.  { B } ) )
3 df-pr 3504 . . 3  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
4 uncom 3190 . . . 4  |-  ( (/)  u. 
{ B } )  =  ( { B }  u.  (/) )
5 un0 3366 . . . 4  |-  ( { B }  u.  (/) )  =  { B }
64, 5eqtr2i 2139 . . 3  |-  { B }  =  ( (/)  u.  { B } )
72, 3, 63eqtr4g 2175 . 2  |-  ( { A }  =  (/)  ->  { A ,  B }  =  { B } )
81, 7sylbi 120 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A ,  B }  =  { B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    u. cun 3039   (/)c0 3333   {csn 3497   {cpr 3498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-nul 3334  df-sn 3503  df-pr 3504
This theorem is referenced by:  prprc2  3602  prprc  3603
  Copyright terms: Public domain W3C validator