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Theorem qaddcl 8853
Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qaddcl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  QQ )

Proof of Theorem qaddcl
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 8840 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 elq 8840 . 2  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
3 nnz 8503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  ZZ )
4 zmulcl 8537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  w
)  e.  ZZ )
53, 4sylan2 280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( x  x.  w
)  e.  ZZ )
65ad2ant2rl 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  x.  w
)  e.  ZZ )
7 simpl 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  z  e.  ZZ )
8 nnz 8503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
98adantl 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
10 zmulcl 8537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( z  x.  y
)  e.  ZZ )
117, 9, 10syl2anr 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( z  x.  y
)  e.  ZZ )
126, 11zaddcld 8606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  e.  ZZ )
1312adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y
) )  e.  ZZ )
14 nnmulcl 8179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  x.  w
)  e.  NN )
1514ad2ant2l 492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( y  x.  w
)  e.  NN )
1615adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( y  x.  w )  e.  NN )
17 oveq12 5572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( A  +  B
)  =  ( ( x  /  y )  +  ( z  /  w ) ) )
18 zcn 8489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
19 zcn 8489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
2018, 19anim12i 331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
21 nncn 8166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
22 nnap0 8187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y #  0 )
2321, 22jca 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  CC  /\  y #  0 ) )
24 nncn 8166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
25 nnap0 8187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w #  0 )
2624, 25jca 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  (
w  e.  CC  /\  w #  0 ) )
2723, 26anim12i 331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  /\  y #  0 )  /\  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) ) )
28 divadddivap 7934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( ( y  e.  CC  /\  y #  0 )  /\  (
w  e.  CC  /\  w #  0 ) ) )  ->  ( ( x  /  y )  +  ( z  /  w
) )  =  ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
2920, 27, 28syl2an 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  +  ( z  /  w ) )  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
3029an4s 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  +  ( z  /  w ) )  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
3117, 30sylan9eqr 2137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  =  ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
32 rspceov 5598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN  /\  ( A  +  B
)  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( v  /  u ) )
33 elq 8840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  B )  e.  QQ  <->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( v  /  u ) )
3432, 33sylibr 132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN  /\  ( A  +  B
)  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
3513, 16, 31, 34syl3anc 1170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
3635an4s 553 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
3736exp43 364 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ ) ) ) )
3837rexlimivv 2487 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w
)  ->  ( A  +  B )  e.  QQ ) ) )
3938rexlimdvv 2488 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ ) )
4039imp 122 . 2  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
411, 2, 40syl2anb 285 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2354   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   CCcc 7093   0cc0 7095    + caddc 7098    x. cmul 7100   # cap 7800    / cdiv 7879   NNcn 8158   ZZcz 8484   QQcq 8837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-q 8838
This theorem is referenced by:  qsubcl  8856  qrevaddcl  8862  flqbi2  9425  flqaddz  9431  flqdiv  9455  modqcyc  9493  modqadd1  9495  modqltm1p1mod  9510  modaddmodlo  9522  modsumfzodifsn  9530  addmodlteq  9532
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