Theorem qletric 10014

Description: Rational trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qletric	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )

Proof of Theorem qletric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9410	. . 3 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2		qre 9410	. . 3 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
3	1, 2	anim12i 336	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
4		qtri3or 10013	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
5		ltle 7844	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
6		orc 701	. . . 4 |- ( A <_ B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
7	5, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
8		eqle 7848	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )
9	8	ex 114	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> A <_ B ) )
10	9	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> A <_ B ) )
11	10, 6	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
12		ltle 7844	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
13	12	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
14		olc 700	. . . 4 |- ( B <_ A -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
15	13, 14	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
16	7, 11, 15	3jaod 1282	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) ) )
17	3, 4, 16	sylc 62	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   \/ w3o 961   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   RRcr 7612   < clt 7793   <_ cle 7794   QQcq 9404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405  df-rp 9435

This theorem is referenced by:  qavgle  10029  qabsor  10840  qtopbas  12680