ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qltnle Unicode version

Theorem qltnle 9384
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qltnle  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)

Proof of Theorem qltnle
StepHypRef Expression
1 qre 8843 . . . . 5  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
2 qre 8843 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
3 lenlt 7306 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
41, 2, 3syl2anr 284 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
54biimpd 142 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( B  <_  A  ->  -.  A  <  B
) )
65con2d 587 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  ->  -.  B  <_  A
) )
7 qtri3or 9381 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B  \/  B  <  A ) )
8 ax-1 5 . . . . 5  |-  ( A  <  B  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B ) )
98a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B
) ) )
10 eqcom 2085 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  <->  B  =  A )
11 eqle 7321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =  A )  ->  B  <_  A )
1210, 11sylan2b 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  B  <_  A )
1312ex 113 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  =  B  ->  B  <_  A ) )
1413adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  ->  B  <_  A
) )
151, 14sylan2 280 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  =  B  ->  B  <_  A
) )
16 pm2.24 584 . . . . 5  |-  ( B  <_  A  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B ) )
1715, 16syl6 33 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  =  B  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B ) ) )
18 ltle 7317 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
191, 2, 18syl2anr 284 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
2019, 16syl6 33 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( B  <  A  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B
) ) )
219, 17, 203jaod 1236 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  < 
B  \/  A  =  B  \/  B  < 
A )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B ) ) )
227, 21mpd 13 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  B
) )
236, 22impbid 127 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ w3o 919    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3805   RRcr 7094    < clt 7267    <_ cle 7268   QQcq 8837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-q 8838  df-rp 8868
This theorem is referenced by:  flqlt  9417
  Copyright terms: Public domain W3C validator