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Theorem qmulcl 9422
Description: Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qmulcl |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A x. B ) e. QQ )
Proof of Theorem qmulcl
Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9407 . 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2 elq 9407 . 2 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
3 zmulcl 9100 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x x. z ) e. ZZ )
4 nnmulcl 8734 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y x. w ) e. NN )
53, 4anim12i 336 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( y e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
65an4s 577 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
76adantr 274 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) )
8 oveq12 5776 . . . . . . . . 9 |- ( ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( A x. B ) = ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) )
9 zcn 9052 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
10 zcn 9052 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ZZ -> z e. CC )
119, 10anim12i 336 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) )
1211ad2ant2r 500 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) )
13 nncn 8721 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y e. CC )
14 nnap0 8742 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y # 0 )
1513, 14jca 304 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
16 nncn 8721 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w e. CC )
17 nnap0 8742 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w # 0 )
1816, 17jca 304 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN -> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
1915, 18anim12i 336 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) )
2019ad2ant2l 499 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) )
21 divmuldivap 8465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CC /\ z e. CC ) /\ ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) ) -> ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
2212, 20, 21syl2anc 408 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
238, 22sylan9eqr 2192 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) )
24 rspceov 5806 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
25243expa 1181 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
26 elq 9407 . . . . . . . . 9 |- ( ( A x. B ) e. QQ <-> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) )
2725, 26sylibr 133 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
287, 23, 27syl2anc 408 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
2928an4s 577 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ A = ( x / y ) ) /\ ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
3029exp43 369 . . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) ) ) )
3130rexlimivv 2553 . . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) ) )
3231rexlimdvv 2554 . . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) )
3332imp 123 . 2 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( A x. B ) e. QQ )
341, 2, 33syl2anb 289 1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A x. B ) e. QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2415   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   0cc0 7613   x. cmul 7618   # cap 8336   / cdiv 8425   NNcn 8713   ZZcz 9047   QQcq 9404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405
This theorem is referenced by:  qdivcl  9428  flqmulnn0  10065  modqcl  10092  mulqmod0  10096  modqmulnn  10108  modqcyc  10125  mulp1mod1  10131  modqmul1  10143  q2txmodxeq0  10150  modqaddmulmod  10157  modqdi  10158  modqsubdir  10159  qexpcl  10302  qexpclz  10307  qsqcl  10357  dvdslelemd  11530  crth  11889
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