ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qre Unicode version

Theorem qre 8791
Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
qre  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem qre
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 8788 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 zre 8436 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
3 nnre 8113 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
4 nnap0 8135 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  y #  0 )
53, 4jca 300 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  RR  /\  y #  0 ) )
6 redivclap 7886 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  y #  0 )  ->  (
x  /  y )  e.  RR )
763expb 1140 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  e.  RR  /\  y #  0 ) )  ->  ( x  / 
y )  e.  RR )
82, 5, 7syl2an 283 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  /  y
)  e.  RR )
9 eleq1 2142 . . . 4  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( x  /  y )  e.  RR ) )
108, 9syl5ibrcom 155 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  A  e.  RR ) )
1110rexlimivv 2483 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  A  e.  RR )
121, 11sylbi 119 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2350   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   RRcr 7042   0cc0 7043   # cap 7748    / cdiv 7827   NNcn 8106   ZZcz 8432   QQcq 8785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-z 8433  df-q 8786
This theorem is referenced by:  qssre  8796  qltlen  8806  qlttri2  8807  irradd  8812  irrmul  8813  qletric  9330  qlelttric  9331  qltnle  9332  qdceq  9333  qbtwnz  9338  qbtwnxr  9344  qavgle  9345  ioo0  9346  ioom  9347  ico0  9348  ioc0  9349  flqcl  9355  flqlelt  9358  qfraclt1  9362  qfracge0  9363  flqge  9364  flqltnz  9369  flqwordi  9370  flqbi  9372  flqbi2  9373  flqaddz  9379  flqmulnn0  9381  flltdivnn0lt  9386  ceilqval  9388  ceiqge  9391  ceiqm1l  9393  ceiqle  9395  flqleceil  9399  flqeqceilz  9400  intfracq  9402  flqdiv  9403  modqval  9406  modq0  9411  mulqmod0  9412  negqmod0  9413  modqge0  9414  modqlt  9415  modqelico  9416  modqdiffl  9417  modqmulnn  9424  modqid  9431  modqid0  9432  modqabs  9439  modqabs2  9440  modqcyc  9441  mulqaddmodid  9446  modqmuladdim  9449  modqmuladdnn0  9450  modqltm1p1mod  9458  q2txmodxeq0  9466  q2submod  9467  modqdi  9474  modqsubdir  9475  qabsor  10099  qdenre  10226  flodddiv4t2lthalf  10481  sqrt2irraplemnn  10701  sqrt2irrap  10702  qdencn  10943
  Copyright terms: Public domain W3C validator