ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  r19.29uz Unicode version

Theorem r19.29uz 10732
Description: A version of 19.29 1584 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
r19.29uz  |-  ( ( A. k  e.  Z  ph 
/\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
)
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( j,
k)    M( k)

Proof of Theorem r19.29uz
StepHypRef Expression
1 rexuz3.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
21uztrn2 9311 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
32ex 114 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  k  e.  Z ) )
4 pm3.2 138 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ps  ->  ( ph  /\  ps ) ) )
54a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  ( ph  ->  ( ps  ->  (
ph  /\  ps )
) ) )
63, 5imim12d 74 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  ->  ph )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  ( ps  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) ) )
76ralimdv2 2479 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ph 
->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ps  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
87impcom 124 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  Z  ph 
/\  j  e.  Z
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ps  ->  ( ph  /\  ps ) ) )
9 ralim 2468 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ps 
->  ( ph  /\  ps ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps 
->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) (
ph  /\  ps )
) )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( A. k  e.  Z  ph 
/\  j  e.  Z
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps ) ) )
1110reximdva 2511 . 2  |-  ( A. k  e.  Z  ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps 
->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )
) )
1211imp 123 1  |-  ( ( A. k  e.  Z  ph 
/\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   ` cfv 5093   ZZ>=cuz 9294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltwlin 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-neg 7904  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by:  climcaucn  11088
  Copyright terms: Public domain W3C validator