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Theorem r3al 2409
Description: Triple restricted universal quantification. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
r3al  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, z   
y, A, z    z, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    A( x)    B( x, y)    C( x, y, z)

Proof of Theorem r3al
StepHypRef Expression
1 df-ral 2354 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y A. z
( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
2 r2al 2386 . . 3  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
)
32ralbii 2373 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. x  e.  A  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
)
4 3anass 924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  <->  ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  C
) ) )
54imbi1i 236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  C
) )  ->  ph )
)
6 impexp 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  C
) )  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  -> 
( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
75, 6bitri 182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph ) ) )
87albii 1400 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  A. z ( x  e.  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph ) ) )
9 19.21v 1795 . . . . . 6  |-  ( A. z ( x  e.  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z
( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
108, 9bitri 182 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
1110albii 1400 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  A. y
( x  e.  A  ->  A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph ) ) )
12 19.21v 1795 . . . 4  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  A. z
( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
)  <->  ( x  e.  A  ->  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
1311, 12bitri 182 . . 3  |-  ( A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
1413albii 1400 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
151, 3, 143bitr4i 210 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920   A.wal 1283    e. wcel 1434   A.wral 2349
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354
This theorem is referenced by:  pocl  4066  soss  4077
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