Theorem raleqbidv 2636

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
raleqbidv.1	|- ( ph -> A = B )
raleqbidv.2	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
raleqbidv	|- ( ph -> ( A. x e. A ps <-> A. x e. B ch ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x)

Proof of Theorem raleqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleqbidv.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2	1	raleqdv 2630	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. A ps <-> A. x e. B ps ) )
3		raleqbidv.2	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
4	3	ralbidv 2435	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. B ps <-> A. x e. B ch ) )
5	2, 4	bitrd 187	1 |- ( ph -> ( A. x e. A ps <-> A. x e. B ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   A.wral 2414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419

This theorem is referenced by:  ofrfval  5983  fmpox  6091  tfrlemi1  6222  supeq123d  6871  cvg1nlemcau  10749  cvg1nlemres  10750  cau3lem  10879  fsum2dlemstep  11196  fisumcom2  11200  istopg  12155  restbasg  12326  cnfval  12352  cnpfval  12353  txbas  12416  limccl  12786  sscoll2  13175