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Theorem ralidm 3433
Description: Idempotent law for restricted quantifier. (Contributed by NM, 28-Mar-1997.)
Assertion
Ref Expression
ralidm  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ralidm
StepHypRef Expression
1 nfra1 2443 . . 3  |-  F/ x A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph
2 anidm 393 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  <->  x  e.  A )
3 rsp2 2459 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A
)  ->  ph ) )
42, 3syl5bir 152 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  ->  ( x  e.  A  ->  ph ) )
51, 4ralrimi 2480 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  ->  A. x  e.  A  ph )
6 ax-1 6 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ph  ->  ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
7 nfra1 2443 . . . . 5  |-  F/ x A. x  e.  A  ph
8719.23 1641 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
96, 8sylibr 133 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ph  ->  A. x ( x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
10 df-ral 2398 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
119, 10sylibr 133 . 2  |-  ( A. x  e.  A  ph  ->  A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph )
125, 11impbii 125 1  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1314   E.wex 1453    e. wcel 1465   A.wral 2393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1408  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-4 1472  ax-ial 1499  ax-i5r 1500
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1422  df-ral 2398
This theorem is referenced by:  issref  4891  cnvpom  5051
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