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Theorem ralrnmpt2 5640
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngop.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
ralrnmpt2.2  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ralrnmpt2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. z  e.  ran  F ph  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ps ) )
Distinct variable groups:    y, z, A   
z, B    z, C    z, F    ps, z    x, y, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    ps( x, y)    A( x)    B( x, y)    C( x, y)    F( x, y)    V( x, y, z)

Proof of Theorem ralrnmpt2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngop.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21rnmpt2 5636 . . . 4  |-  ran  F  =  { w  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C }
32raleqi 2554 . . 3  |-  ( A. z  e.  ran  F ph  <->  A. z  e.  { w  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C } ph )
4 eqeq1 2088 . . . . 5  |-  ( w  =  z  ->  (
w  =  C  <->  z  =  C ) )
542rexbidv 2392 . . . 4  |-  ( w  =  z  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C ) )
65ralab 2753 . . 3  |-  ( A. z  e.  { w  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C } ph 
<-> 
A. z ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )
)
7 ralcom4 2622 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. z A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
8 r19.23v 2470 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
98albii 1400 . . . 4  |-  ( A. z A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. z ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )
)
107, 9bitr2i 183 . . 3  |-  ( A. z ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. x  e.  A  A. z
( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
113, 6, 103bitri 204 . 2  |-  ( A. z  e.  ran  F ph  <->  A. x  e.  A  A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
12 ralcom4 2622 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  A. z A. y  e.  B  ( z  =  C  ->  ph ) )
13 r19.23v 2470 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  (
z  =  C  ->  ph )  <->  ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
1413albii 1400 . . . . . 6  |-  ( A. z A. y  e.  B  ( z  =  C  ->  ph )  <->  A. z
( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
1512, 14bitri 182 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  A. z
( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph ) )
16 nfv 1462 . . . . . . . 8  |-  F/ z ps
17 ralrnmpt2.2 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1816, 17ceqsalg 2628 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  V  ->  ( A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  ps )
)
1918ralimi 2427 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. y  e.  B  ( A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  ps )
)
20 ralbi 2490 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  ( A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  ps )  ->  ( A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  A. y  e.  B  ps ) )
2119, 20syl 14 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. y  e.  B  A. z ( z  =  C  ->  ph )  <->  A. y  e.  B  ps )
)
2215, 21syl5bbr 192 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. y  e.  B  ps )
)
2322ralimi 2427 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. x  e.  A  ( A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. y  e.  B  ps )
)
24 ralbi 2490 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. y  e.  B  ps )  ->  ( A. x  e.  A  A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ps ) )
2523, 24syl 14 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  A. z ( E. y  e.  B  z  =  C  ->  ph )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ps )
)
2611, 25syl5bb 190 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. z  e.  ran  F ph  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103   A.wal 1283    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2068   A.wral 2349   E.wrex 2350   ran crn 4366    |-> cmpt2 5539
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-br 3788  df-opab 3842  df-cnv 4373  df-dm 4375  df-rn 4376  df-oprab 5541  df-mpt2 5542
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