Theorem rdgfun 6022

Description: The recursive definition generator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdgfun	|- Fun rec ( F , A )

Proof of Theorem rdgfun

Dummy variables x y z f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2082	. . 3 |- { f | E. y e. On ( f Fn y /\ A. z e. y ( f ` z ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( f |` z ) ) ) } = { f | E. y e. On ( f Fn y /\ A. z e. y ( f ` z ) = ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ` ( f |` z ) ) ) }
2	1	tfrlem7 5966	. 2 |- Fun recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
3		df-irdg 6019	. . 3 |- rec ( F , A ) = recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) )
4	3	funeqi 4952	. 2 |- ( Fun rec ( F , A ) <-> Fun recs ( ( g e. _V |-> ( A u. U_ x e. dom g ( F ` ( g ` x ) ) ) ) ) )
5	2, 4	mpbir 144	1 |- Fun rec ( F , A )

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1285   {cab 2068   A.wral 2349   E.wrex 2350   _Vcvv 2602   u. cun 2972   U_ciun 3686   |-> cmpt 3847   Oncon0 4126   dom cdm 4371   |` cres 4373   Fun wfun 4926   Fn wfn 4927   ` cfv 4932  recscrecs 5953   reccrdg 6018

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-setind 4288

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-res 4383  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-fv 4940  df-recs 5954  df-irdg 6019

This theorem is referenced by:  rdgivallem  6030