Theorem rdgival 6272

Description: Value of the recursive definition generator. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rdgival	|- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( rec ( F , A ) ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, V

Proof of Theorem rdgival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgivallem 6271	. 2 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) )
2		fvres 5438	. . . . 5 |- ( x e. B -> ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) = ( rec ( F , A ) ` x ) )
3	2	fveq2d 5418	. . . 4 |- ( x e. B -> ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) = ( F ` ( rec ( F , A ) ` x ) ) )
4	3	iuneq2i 3826	. . 3 |- U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) = U_ x e. B ( F ` ( rec ( F , A ) ` x ) )
5	4	uneq2i 3222	. 2 |- ( A u. U_ x e. B ( F ` ( ( rec ( F , A ) |` B ) ` x ) ) ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( rec ( F , A ) ` x ) ) )
6	1, 5	syl6eq 2186	1 |- ( ( F Fn _V /\ A e. V /\ B e. On ) -> ( rec ( F , A ) ` B ) = ( A u. U_ x e. B ( F ` ( rec ( F , A ) ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   u. cun 3064   U_ciun 3808   Oncon0 4280   |` cres 4536   Fn wfn 5113   ` cfv 5118   reccrdg 6259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-recs 6195  df-irdg 6260

This theorem is referenced by:  rdgss  6273  rdgisuc1  6274  rdgisucinc  6275  oav2  6352  omv2  6354