ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recclnq Unicode version

Theorem recclnq 6644
Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
recclnq  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( *Q `  A )  e. 
Q. )

Proof of Theorem recclnq
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recexnq 6642 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. y
( y  e.  Q.  /\  ( A  .Q  y
)  =  1Q ) )
2 recmulnqg 6643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  A )  =  y  <-> 
( A  .Q  y
)  =  1Q ) )
32biimpar 291 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( A  .Q  y
)  =  1Q )  ->  ( *Q `  A )  =  y )
4 eleq1a 2151 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
( *Q `  A
)  =  y  -> 
( *Q `  A
)  e.  Q. )
)
54ad2antlr 473 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( A  .Q  y
)  =  1Q )  ->  ( ( *Q
`  A )  =  y  ->  ( *Q `  A )  e.  Q. ) )
63, 5mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  ( A  .Q  y
)  =  1Q )  ->  ( *Q `  A )  e.  Q. )
76expl 370 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( y  e.  Q.  /\  ( A  .Q  y
)  =  1Q )  ->  ( *Q `  A )  e.  Q. ) )
87exlimdv 1741 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( E. y ( y  e. 
Q.  /\  ( A  .Q  y )  =  1Q )  ->  ( *Q `  A )  e.  Q. ) )
91, 8mpd 13 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( *Q `  A )  e. 
Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   Q.cnq 6532   1Qc1q 6533    .Q cmq 6535   *Qcrq 6536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-mi 6558  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604
This theorem is referenced by:  recidnq  6645  recrecnq  6646  rec1nq  6647  halfnqq  6662  prarloclemarch  6670  ltrnqg  6672  addnqprllem  6779  addnqprulem  6780  addnqprl  6781  addnqpru  6782  recnnpr  6800  appdivnq  6815  mulnqprl  6820  mulnqpru  6821  1idprl  6842  1idpru  6843  recexprlemm  6876  recexprlemloc  6883  recexprlem1ssl  6885  recexprlem1ssu  6886  archrecnq  6915  archrecpr  6916  caucvgprlemnkj  6918  caucvgprlemnbj  6919  caucvgprlemm  6920  caucvgprlemopl  6921  caucvgprlemlol  6922  caucvgprlemloc  6927  caucvgprlemladdfu  6929  caucvgprlemladdrl  6930  caucvgprprlemloccalc  6936  caucvgprprlemnkltj  6941  caucvgprprlemnkeqj  6942  caucvgprprlemnjltk  6943  caucvgprprlemml  6946  caucvgprprlemopl  6949  caucvgprprlemlol  6950  caucvgprprlemloc  6955  caucvgprprlemexb  6959  caucvgprprlem1  6961  caucvgprprlem2  6962  recidpipr  7086
  Copyright terms: Public domain W3C validator