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Theorem recexap 7810
Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
recexap  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  E. x  e.  CC  ( A  x.  x )  =  1 )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem recexap
Dummy variables  y  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7177 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) )
2 recexaplem2 7809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) #  0 )  ->  (
( a  x.  a
)  +  ( b  x.  b ) ) #  0 )
323expia 1141 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) ) #  0  -> 
( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) ) #  0 ) )
4 remulcl 7163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( a  x.  a
)  e.  RR )
54anidms 389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  RR  ->  (
a  x.  a )  e.  RR )
6 remulcl 7163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( b  x.  b
)  e.  RR )
76anidms 389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  RR  ->  (
b  x.  b )  e.  RR )
8 readdcl 7161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  x.  a
)  e.  RR  /\  ( b  x.  b
)  e.  RR )  ->  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) )  e.  RR )
95, 7, 8syl2an 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  e.  RR )
10 0re 7181 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
11 apreap 7754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0  <->  (
( a  x.  a
)  +  ( b  x.  b ) ) #  0 ) )
129, 10, 11sylancl 404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0  <->  (
( a  x.  a
)  +  ( b  x.  b ) ) #  0 ) )
13 recexre 7745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  e.  RR  /\  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) ) #  0 )  ->  E. y  e.  RR  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1 )
149, 13sylan 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0 )  ->  E. y  e.  RR  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) )  x.  y
)  =  1 )
15 recn 7168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  RR  ->  a  e.  CC )
16 recn 7168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  RR  ->  b  e.  CC )
17 recn 7168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
18 ax-icn 7133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  _i  e.  CC
19 mulcl 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( _i  x.  b
)  e.  CC )
2018, 19mpan 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  e.  CC  ->  (
_i  x.  b )  e.  CC )
21 subcl 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  CC  /\  ( _i  x.  b
)  e.  CC )  ->  ( a  -  ( _i  x.  b
) )  e.  CC )
2220, 21sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( a  -  (
_i  x.  b )
)  e.  CC )
23 mulcl 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  -  (
_i  x.  b )
)  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( a  -  ( _i  x.  b
) )  x.  y
)  e.  CC )
2422, 23sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( a  -  ( _i  x.  b ) )  x.  y )  e.  CC )
2524adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  /\  (
( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1 )  -> 
( ( a  -  ( _i  x.  b
) )  x.  y
)  e.  CC )
26 addcl 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  CC  /\  ( _i  x.  b
)  e.  CC )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  e.  CC )
2720, 26sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  CC )
2827adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  e.  CC )
2922adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( a  -  ( _i  x.  b
) )  e.  CC )
30 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
3128, 29, 30mulassd 7204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( a  -  ( _i  x.  b
) ) )  x.  y )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( ( a  -  ( _i  x.  b ) )  x.  y ) ) )
32 recextlem1 7808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  (
a  -  ( _i  x.  b ) ) )  =  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) ) )
3332adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( a  -  (
_i  x.  b )
) )  =  ( ( a  x.  a
)  +  ( b  x.  b ) ) )
3433oveq1d 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( a  -  ( _i  x.  b
) ) )  x.  y )  =  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y ) )
3531, 34eqtr3d 2116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( ( a  -  ( _i  x.  b
) )  x.  y
) )  =  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y ) )
36 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1  ->  (
( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1 )
3735, 36sylan9eq 2134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  /\  (
( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1 )  -> 
( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  (
( a  -  (
_i  x.  b )
)  x.  y ) )  =  1 )
38 oveq2 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( ( a  -  ( _i  x.  b ) )  x.  y )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( ( a  -  ( _i  x.  b
) )  x.  y
) ) )
3938eqeq1d 2090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( a  -  ( _i  x.  b ) )  x.  y )  ->  (
( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1  <->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( ( a  -  ( _i  x.  b ) )  x.  y ) )  =  1 ) )
4039rspcev 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  -  ( _i  x.  b
) )  x.  y
)  e.  CC  /\  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  (
( a  -  (
_i  x.  b )
)  x.  y ) )  =  1 )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 )
4125, 37, 40syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  /\  (
( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1 )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 )
4241exp31 356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( y  e.  CC  ->  ( ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) ) )
4317, 42syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) ) )
4443rexlimdv 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( E. y  e.  RR  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) )
4515, 16, 44syl2an 283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  RR  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) )
4645adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0 )  -> 
( E. y  e.  RR  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) )
4714, 46mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0 )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 )
4847ex 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x )  =  1 ) )
4912, 48sylbid 148 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) )
503, 49syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) ) #  0  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) )
5150adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) )  ->  ( (
a  +  ( _i  x.  b ) ) #  0  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x )  =  1 ) )
52 breq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( A #  0  <->  ( a  +  ( _i  x.  b
) ) #  0 ) )
5352adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) )  ->  ( A #  0 
<->  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) #  0 ) )
54 oveq1 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( A  x.  x )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x ) )
5554eqeq1d 2090 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  (
( A  x.  x
)  =  1  <->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x )  =  1 ) )
5655rexbidv 2370 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( A  x.  x
)  =  1  <->  E. x  e.  CC  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x )  =  1 ) )
5756adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( A  x.  x )  =  1  <->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x )  =  1 ) )
5851, 53, 573imtr4d 201 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) )  ->  ( A #  0  ->  E. x  e.  CC  ( A  x.  x
)  =  1 ) )
5958ex 113 . . . 4  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  ->  ( A #  0  ->  E. x  e.  CC  ( A  x.  x
)  =  1 ) ) )
6059rexlimivv 2483 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( A #  0  ->  E. x  e.  CC  ( A  x.  x )  =  1 ) )
611, 60syl 14 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A #  0  ->  E. x  e.  CC  ( A  x.  x )  =  1 ) )
6261imp 122 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  E. x  e.  CC  ( A  x.  x )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2350   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   CCcc 7041   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044   _ici 7045    + caddc 7046    x. cmul 7048    - cmin 7346   # creap 7741   # cap 7748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749
This theorem is referenced by:  mulap0  7811  mulcanapd  7818  receuap  7826
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