ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexnq Unicode version

Theorem recexnq 6642
Description: Existence of positive fraction reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
recexnq  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. y
( y  e.  Q.  /\  ( A  .Q  y
)  =  1Q ) )
Distinct variable group:    y, A

Proof of Theorem recexnq
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6600 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 oveq1 5550 . . . . 5  |-  ( [
<. x ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  y )  =  ( A  .Q  y ) )
32eqeq1d 2090 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  y )  =  1Q  <->  ( A  .Q  y )  =  1Q ) )
43anbi2d 452 . . 3  |-  ( [
<. x ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( y  e. 
Q.  /\  ( [ <. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  y )  =  1Q )  <->  ( y  e.  Q.  /\  ( A  .Q  y )  =  1Q ) ) )
54exbidv 1747 . 2  |-  ( [
<. x ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( E. y ( y  e.  Q.  /\  ( [ <. x ,  z
>. ]  ~Q  .Q  y
)  =  1Q )  <->  E. y ( y  e. 
Q.  /\  ( A  .Q  y )  =  1Q ) ) )
6 opelxpi 4402 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  N.  /\  x  e.  N. )  -> 
<. z ,  x >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
76ancoms 264 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  -> 
<. z ,  x >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
8 enqex 6612 . . . . . 6  |-  ~Q  e.  _V
98ecelqsi 6226 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  x >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
107, 9syl 14 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
1110, 1syl6eleqr 2173 . . 3  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  e.  Q. )
12 mulcompig 6583 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( x  .N  z
)  =  ( z  .N  x ) )
1312opeq2d 3585 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  -> 
<. ( x  .N  z
) ,  ( x  .N  z ) >.  =  <. ( x  .N  z ) ,  ( z  .N  x )
>. )
1413eceq1d 6208 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  [ <. ( x  .N  z ) ,  ( x  .N  z )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( x  .N  z
) ,  ( z  .N  x ) >. ]  ~Q  )
15 mulclpi 6580 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( x  .N  z
)  e.  N. )
16 1qec 6640 . . . . . 6  |-  ( ( x  .N  z )  e.  N.  ->  1Q  =  [ <. ( x  .N  z ) ,  ( x  .N  z )
>. ]  ~Q  )
1715, 16syl 14 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  1Q  =  [ <. ( x  .N  z ) ,  ( x  .N  z ) >. ]  ~Q  )
18 mulpipqqs 6625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  x  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  z ) ,  ( z  .N  x ) >. ]  ~Q  )
1918an42s 554 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
x  .N  z ) ,  ( z  .N  x ) >. ]  ~Q  )
2019anidms 389 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  )  =  [ <. ( x  .N  z ) ,  ( z  .N  x )
>. ]  ~Q  )
2114, 17, 203eqtr4rd 2125 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  )  =  1Q )
2211, 21jca 300 . . 3  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  x >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  ( [ <. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  )  =  1Q ) )
23 eleq1 2142 . . . . 5  |-  ( y  =  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  ->  ( y  e.  Q.  <->  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  e.  Q. ) )
24 oveq2 5551 . . . . . 6  |-  ( y  =  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  ->  ( [ <. x ,  z
>. ]  ~Q  .Q  y
)  =  ( [
<. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  ) )
2524eqeq1d 2090 . . . . 5  |-  ( y  =  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  ->  ( ( [ <. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  y )  =  1Q  <->  ( [ <. x ,  z
>. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  )  =  1Q ) )
2623, 25anbi12d 457 . . . 4  |-  ( y  =  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  ->  ( ( y  e.  Q.  /\  ( [ <. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  y )  =  1Q )  <->  ( [ <. z ,  x >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  ( [
<. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  )  =  1Q )
) )
2726spcegv 2687 . . 3  |-  ( [
<. z ,  x >. ]  ~Q  e.  Q.  ->  ( ( [ <. z ,  x >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  ( [ <. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  [ <. z ,  x >. ]  ~Q  )  =  1Q )  ->  E. y
( y  e.  Q.  /\  ( [ <. x ,  z >. ]  ~Q  .Q  y )  =  1Q ) ) )
2811, 22, 27sylc 61 . 2  |-  ( ( x  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  E. y ( y  e.  Q.  /\  ( [ <. x ,  z
>. ]  ~Q  .Q  y
)  =  1Q ) )
291, 5, 28ecoptocl 6259 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. y
( y  e.  Q.  /\  ( A  .Q  y
)  =  1Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   <.cop 3409    X. cxp 4369  (class class class)co 5543   [cec 6170   /.cqs 6171   N.cnpi 6524    .N cmi 6526    ~Q ceq 6531   Q.cnq 6532   1Qc1q 6533    .Q cmq 6535
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-mi 6558  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603
This theorem is referenced by:  recmulnqg  6643  recclnq  6644
  Copyright terms: Public domain W3C validator