Theorem recidnq 6634

Description: A positive fraction times its reciprocal is 1. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recidnq	|- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q )

Proof of Theorem recidnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 6633	. 2 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )
2		eqid 2082	. . 3 |- ( *Q ` A ) = ( *Q ` A )
3		recmulnqg 6632	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) = ( *Q ` A ) <-> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q ) )
4	2, 3	mpbii 146	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q )
5	1, 4	mpdan 412	1 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   Q.cnq 6521   1Qc1q 6522   .Q cmq 6524   *Qcrq 6525

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-mi 6547  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-rq 6593

This theorem is referenced by:  recrecnq  6635  rec1nq  6636  halfnqq  6651  prarloclemarch  6659  ltrnqg  6661  addnqprllem  6768  addnqprulem  6769  addnqprl  6770  addnqpru  6771  appdivnq  6804  mulnqprl  6809  mulnqpru  6810  1idprl  6831  1idpru  6832  recexprlem1ssl  6874  recexprlem1ssu  6875  recexprlemss1l  6876  recexprlemss1u  6877  recidpipr  7075