ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recl Unicode version

Theorem recl 9867
Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
recl  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem recl
StepHypRef Expression
1 reval 9863 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  ( ( A  +  ( * `  A ) )  / 
2 ) )
2 cjth 9860 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  e.  RR  /\  ( _i  x.  ( A  -  ( * `  A ) ) )  e.  RR ) )
32simpld 110 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  ( * `  A ) )  e.  RR )
43rehalfcld 8333 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  ( * `  A ) )  /  2 )  e.  RR )
51, 4eqeltrd 2156 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1434   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   CCcc 7030   RRcr 7031   _ici 7034    + caddc 7035    x. cmul 7037    - cmin 7335    / cdiv 7816   2c2 8145   *ccj 9853   Recre 9854
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-2 8154  df-cj 9856  df-re 9857
This theorem is referenced by:  imcl  9868  ref  9869  crre  9871  remim  9874  reim0b  9876  rereb  9877  mulreap  9878  cjreb  9880  recj  9881  reneg  9882  readd  9883  resub  9884  remullem  9885  remul2  9887  redivap  9888  imcj  9889  imneg  9890  imadd  9891  immul2  9894  cjadd  9898  ipcnval  9900  cjmulval  9902  cjmulge0  9903  cjneg  9904  imval2  9908  cnrecnv  9924  recli  9925  recld  9952  abs00ap  10075  absrele  10096  releabs  10109
  Copyright terms: Public domain W3C validator