Theorem reim0b 10627

Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reim0b	|- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )

Proof of Theorem reim0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reim0 10626	. 2 |- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )
2		replim 10624	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3	2	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
4		oveq2 5775	. . . . . . . 8 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. 0 ) )
5		it0e0 8934	. . . . . . . 8 |- ( _i x. 0 ) = 0
6	4, 5	syl6eq 2186	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = 0 )
7	6	oveq2d 5783	. . . . . 6 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + 0 ) )
8		recl 10618	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
9	8	recnd 7787	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
10	9	addid1d 7904	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + 0 ) = ( Re ` A ) )
11	7, 10	sylan9eqr 2192	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( Re ` A ) )
12	3, 11	eqtrd 2170	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A = ( Re ` A ) )
13	8	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( Re ` A ) e. RR )
14	12, 13	eqeltrd 2214	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A e. RR )
15	14	ex 114	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 -> A e. RR ) )
16	1, 15	impbid2 142	1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613   _ici 7615   + caddc 7616   x. cmul 7618   Recre 10605   Imcim 10606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-2 8772  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609

This theorem is referenced by:  cjreb  10631  reim0bi  10681  reim0bd  10709  absefib  11466  efieq1re  11467