Theorem releldmb 4776

Description: Membership in a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
releldmb	|- ( Rel R -> ( A e. dom R <-> E. x A R x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem releldmb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 4734	. . 3 |- ( A e. dom R -> ( A e. dom R <-> E. x A R x ) )
2	1	ibi 175	. 2 |- ( A e. dom R -> E. x A R x )
3		releldm 4774	. . . 4 |- ( ( Rel R /\ A R x ) -> A e. dom R )
4	3	ex 114	. . 3 |- ( Rel R -> ( A R x -> A e. dom R ) )
5	4	exlimdv 1791	. 2 |- ( Rel R -> ( E. x A R x -> A e. dom R ) )
6	2, 5	impbid2 142	1 |- ( Rel R -> ( A e. dom R <-> E. x A R x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   E.wex 1468   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   Rel wrel 4544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-dm 4549

This theorem is referenced by: (None)